Страница 45 номер 4.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через концы отрезка \(AB\), пересекающего плоскость \(\alpha\), и его середину \(C\) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно (рис. 4.19). Найдите отрезок \(CC_1\), если \(AA_1 = 16\) см, \(BB_1 = 8\) см.
Дано:
\(AC = CB\)
\(AA_1 = 16\) см
\(BB_1 = 8\) см
отрезок \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\)
Найти: отрезок \(CC_1\).
Решение: Прямые \(AA_1\), \(CC_1\) и \(BB_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(C\) и \(B\), а все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезка \(AB\) с плоскостью \(\alpha\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\beta\) по аксиоме А4, поэтому \(O \in \beta\); кроме того, \(O \in \alpha\).
Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\) и \(O\) — общие точки этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому точки \(A_1\), \(C_1\), \(O\) и \(B_1\) лежат на одной прямой.
Точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(O\) лежит между ними.
Треугольники \(OAA_1\) и \(OBB_1\) подобны: углы \(AOA_1\) и \(BOB_1\) равны как вертикальные, а углы \(OAA_1\) и \(OBB_1\) — как накрест лежащие при параллельных прямых \(AA_1\) и \(BB_1\) и секущей \(AB\). Из подобия треугольников \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AA_1}{BB_1} = \dfrac{16}{8} = 2\).
Пусть \(OB = x\) см, тогда \(OA = 2x\) см и \(AB = OA + OB = 3x\) (см). Точка \(C\) — середина отрезка \(AB\), поэтому \(AC = 1{,}5x\) см. Так как \(AC < OA\), точка \(C\) лежит между \(A\) и \(O\), причём \(OC = OA - AC = 2x - 1{,}5x = 0{,}5x\) (см).
Треугольники \(OCC_1\) и \(OAA_1\) подобны: угол \(O\) у них общий, а углы \(OCC_1\) и \(OAA_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CC_1\) и \(AA_1\) и секущей \(AB\). Из подобия треугольников \(\dfrac{CC_1}{AA_1} = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{0{,}5x}{2x} = \dfrac{1}{4}\), откуда \(CC_1 = \dfrac{16}{4} = 4\) (см).
Ответ: \(CC_1 = 4\) см.
Через концы отрезка \(AB\), пересекающего плоскость \(\alpha\), и его середину \(C\) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно (рис. 4.19). Найдите отрезок \(CC_1\), если \(AA_1 = 16\) см, \(BB_1 = 8\) см.
Дано:
\(AC = CB\)
\(AA_1 = 16\) см
\(BB_1 = 8\) см
отрезок \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\)
Найти: отрезок \(CC_1\).
Решение: Прямые \(AA_1\), \(CC_1\) и \(BB_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(C\) и \(B\). Известно, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости, поэтому эти три прямые лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезка \(AB\) с плоскостью \(\alpha\). Точка \(O\) лежит на прямой \(AB\), а прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\beta\) по аксиоме А4, поэтому \(O \in \beta\); кроме того, \(O \in \alpha\).
Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому не принадлежит ей, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\) и \(O\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки \(A_1\), \(C_1\), \(O\) и \(B_1\) лежат на одной прямой.
Точки \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(O\) лежит между ними.
Треугольники \(OAA_1\) и \(OBB_1\) подобны: углы \(AOA_1\) и \(BOB_1\) равны как вертикальные, а углы \(OAA_1\) и \(OBB_1\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AA_1\) и \(BB_1\) и секущей \(AB\).
Из подобия треугольников \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AA_1}{BB_1} = \dfrac{16}{8} = 2\).
Пусть \(OB = x\) см, тогда \(OA = 2x\) см и \(AB = OA + OB = 3x\) (см). Точка \(C\) — середина отрезка \(AB\), поэтому \(AC = 1{,}5x\) см. Так как \(AC < OA\), точка \(C\) лежит между \(A\) и \(O\), причём \(OC = OA - AC = 2x - 1{,}5x = 0{,}5x\) (см).
Треугольники \(OCC_1\) и \(OAA_1\) подобны: угол \(O\) у них общий, а углы \(OCC_1\) и \(OAA_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CC_1\) и \(AA_1\) и секущей \(AB\).
Из подобия треугольников \(\dfrac{CC_1}{AA_1} = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{0{,}5x}{2x} = \dfrac{1}{4}\), откуда \(CC_1 = \dfrac{16}{4} = 4\) (см).
Ответ: \(CC_1 = 4\) см.
