Страница 45 номер 4.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) не принадлежит ни одной из параллельных прямых \(a\) и \(b\). Известно, что через точку \(M\) можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых \(a\) и \(b\). Докажите, что прямые \(a\) и \(b\) и точка \(M\) лежат в одной плоскости.
Пусть \(p\) — прямая, которая проходит через точку \(M\) и пересекает прямую \(a\) в точке \(P\), а прямую \(b\) — в точке \(Q\). Точки \(P\) и \(Q\) различны: иначе эта точка была бы общей точкой прямых \(a\) и \(b\), а параллельные прямые общих точек не имеют.
Через две параллельные прямые \(a\) и \(b\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\). Точка \(P\) принадлежит прямой \(a\), а точка \(Q\) — прямой \(b\), поэтому обе они принадлежат плоскости \(\gamma\), и по аксиоме А4 прямая \(p\), проходящая через точки \(P\) и \(Q\), принадлежит плоскости \(\gamma\). Точка \(M\) лежит на прямой \(p\), поэтому \(M \in \gamma\).
Следовательно, прямые \(a\) и \(b\) и точка \(M\) лежат в одной плоскости.
Ответ: прямые \(a\) и \(b\) и точка \(M\) лежат в одной плоскости — в той плоскости, которая проходит через параллельные прямые \(a\) и \(b\).
Точка \(M\) не принадлежит ни одной из параллельных прямых \(a\) и \(b\). Известно, что через точку \(M\) можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых \(a\) и \(b\). Докажите, что прямые \(a\) и \(b\) и точка \(M\) лежат в одной плоскости.
Пусть \(p\) — прямая, которая проходит через точку \(M\) и пересекает прямую \(a\) в точке \(P\), а прямую \(b\) — в точке \(Q\).
Точки \(P\) и \(Q\) различны: иначе эта точка была бы общей точкой прямых \(a\) и \(b\), а параллельные прямые общих точек не имеют.
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, а через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна. Обозначим эту плоскость \(\gamma\).
Точка \(P\) принадлежит прямой \(a\), а точка \(Q\) — прямой \(b\), поэтому обе эти точки принадлежат плоскости \(\gamma\). По аксиоме А4 прямая, проходящая через точки \(P\) и \(Q\), то есть прямая \(p\), принадлежит плоскости \(\gamma\). Точка \(M\) лежит на прямой \(p\), поэтому \(M \in \gamma\).
Следовательно, прямые \(a\) и \(b\) и точка \(M\) лежат в одной плоскости.
Ответ: прямые \(a\) и \(b\) и точка \(M\) лежат в одной плоскости — в той плоскости, которая проходит через параллельные прямые \(a\) и \(b\).
