Страница 45 номер 4.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) не принадлежит ни одной из скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\). Можно ли через точку \(M\) провести две прямые, каждая из которых будет пересекать и прямую \(a\), и прямую \(b\)?
Предположим, что через точку \(M\) проходят две различные прямые \(p\) и \(q\), каждая из которых пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\). Они пересекаются в точке \(M\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Пусть прямая \(a\) пересекает прямую \(p\) в точке \(P\), а прямую \(q\) — в точке \(Q\). Точки \(P\) и \(Q\) различны: иначе эта точка принадлежала бы и прямой \(p\), и прямой \(q\), а у двух различных пересекающихся прямых общая точка одна — точка \(M\); тогда \(M \in a\), что противоречит условию.
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат прямым \(p\) и \(q\), а значит, и плоскости \(\gamma\); обе они принадлежат прямой \(a\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Аналогично и прямая \(b\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Значит, прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости, а это противоречит условию: они скрещивающиеся. Следовательно, двух таких прямых через точку \(M\) провести нельзя.
Ответ: нет, через точку \(M\) нельзя провести две прямые, каждая из которых пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\).
Точка \(M\) не принадлежит ни одной из скрещивающихся прямых \(a\) и \(b\). Можно ли через точку \(M\) провести две прямые, каждая из которых будет пересекать и прямую \(a\), и прямую \(b\)?
Предположим, что через точку \(M\) проходят две различные прямые \(p\) и \(q\), каждая из которых пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\).
Прямые \(p\) и \(q\) пересекаются в точке \(M\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. Обозначим эту плоскость \(\gamma\).
Пусть прямая \(a\) пересекает прямую \(p\) в точке \(P\), а прямую \(q\) — в точке \(Q\). Точки \(P\) и \(Q\) различны: иначе эта точка принадлежала бы и прямой \(p\), и прямой \(q\), а у двух различных пересекающихся прямых общая точка одна — точка \(M\); тогда \(M \in a\), что противоречит условию.
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат прямым \(p\) и \(q\), а значит, и плоскости \(\gamma\). Поскольку обе эти точки принадлежат прямой \(a\), то по аксиоме А4 прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Аналогично доказывается, что и прямая \(b\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Значит, прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости, а это противоречит условию: они скрещивающиеся.
Следовательно, двух таких прямых через точку \(M\) провести нельзя.
Ответ: нет, через точку \(M\) нельзя провести две прямые, каждая из которых пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\).
