Страница 44 номер 4.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?
Для прямых в пространстве это утверждение неверно.
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) прямые \(AB\) и \(DC\) содержат противоположные стороны квадрата \(ABCD\), поэтому они параллельны.
Прямая \(AA_1\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(A\), а прямую \(DC\) не пересекает: прямая \(DC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(DC\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(DC\) скрещивающиеся и общих точек не имеют.
Ответ: нет, для прямых в пространстве это утверждение неверно: прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, может со второй прямой скрещиваться.
Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?
Для прямых в пространстве это утверждение неверно.
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Прямые \(AB\) и \(DC\) содержат противоположные стороны квадрата \(ABCD\), поэтому они параллельны.
Прямая \(AA_1\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(A\). При этом прямая \(DC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(AA_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A\), не принадлежащей прямой \(DC\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AA_1\) и \(DC\) скрещивающиеся, а значит, общих точек не имеют.
Значит, прямая \(AA_1\) пересекает прямую \(AB\), но не пересекает параллельную ей прямую \(DC\).
Ответ: нет, для прямых в пространстве это утверждение неверно: прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, может со второй прямой скрещиваться.
