Страница 44 номер 4.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Известно, что прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся и прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся?
Утверждать этого нельзя.
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и возьмём в качестве прямой \(a\) прямую \(AD\), в качестве прямой \(b\) — прямую \(CC_1\), а в качестве прямой \(c\) — прямую \(A_1D_1\).
Прямая \(AD\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AD\), поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AD\) и \(CC_1\) скрещивающиеся. Прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C_1\), не принадлежащей прямой \(A_1D_1\), поэтому и прямые \(CC_1\) и \(A_1D_1\) скрещивающиеся. Но прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) содержат противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), поэтому они параллельны.
Прямые \(a\) и \(c\) могут и пересекаться. Если взять в качестве прямой \(c\) прямую \(AB\), то прямые \(CC_1\) и \(AB\) скрещивающиеся: прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AB\). Прямые же \(AD\) и \(AB\) пересекаются в точке \(A\).
Могут прямые \(a\) и \(c\) оказаться и скрещивающимися. Если взять в качестве прямой \(c\) прямую \(A_1B_1\), то прямые \(CC_1\) и \(A_1B_1\) скрещивающиеся (прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C_1\), не принадлежащей прямой \(A_1B_1\)). Скрещивающимися будут и прямые \(AD\) и \(A_1B_1\): прямая \(AD\) лежит в плоскости \(ADD_1\), а прямая \(A_1B_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A_1\), не принадлежащей прямой \(AD\).
Ответ: нет, утверждать этого нельзя: прямые \(a\) и \(c\) могут быть параллельными, могут пересекаться, а могут и скрещиваться.
Известно, что прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся и прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся?
Утверждать этого нельзя.
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и возьмём в качестве прямой \(a\) прямую \(AD\), в качестве прямой \(b\) — прямую \(CC_1\), а в качестве прямой \(c\) — прямую \(A_1D_1\).
Прямая \(AD\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AD\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AD\) и \(CC_1\) скрещивающиеся.
Прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C_1\), не принадлежащей прямой \(A_1D_1\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(CC_1\) и \(A_1D_1\) скрещивающиеся.
Но прямые \(AD\) и \(A_1D_1\) содержат противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), поэтому они параллельны.
Значит, из того, что прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся и прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся, не следует, что прямые \(a\) и \(c\) скрещивающиеся.
Прямые \(a\) и \(c\) при этом могут и пересекаться. Если взять в качестве прямой \(c\) прямую \(AB\), то прямые \(CC_1\) и \(AB\) скрещивающиеся: прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), не принадлежащей прямой \(AB\). Прямые же \(AD\) и \(AB\) пересекаются в точке \(A\).
Могут прямые \(a\) и \(c\) оказаться и скрещивающимися. Если взять в качестве прямой \(c\) прямую \(A_1B_1\), то прямые \(CC_1\) и \(A_1B_1\) скрещивающиеся (прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C_1\), не принадлежащей прямой \(A_1B_1\)). Скрещивающимися будут и прямые \(AD\) и \(A_1B_1\): прямая \(AD\) лежит в плоскости \(ADD_1\), а прямая \(A_1B_1\) пересекает эту плоскость в точке \(A_1\), не принадлежащей прямой \(AD\).
Ответ: нет, утверждать этого нельзя: прямые \(a\) и \(c\) могут быть параллельными, могут пересекаться, а могут и скрещиваться.
