Страница 44 номер 4.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащих на одной прямой (рис. 4.18). Прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в точке \(D\), а прямая \(c\) — в точке \(E\). Докажите, что прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся.
Прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в точке \(D\), а прямая \(c\) — в точке \(E\); как видно на рисунке, это разные точки.
Предположим, что прямые \(b\) и \(c\) не являются скрещивающимися, то есть лежат в одной плоскости; обозначим её \(\gamma\).
Точка \(D\) принадлежит прямой \(b\), а точка \(E\) — прямой \(c\), поэтому обе они принадлежат плоскости \(\gamma\); точки \(D\) и \(E\) принадлежат и прямой \(a\), значит, по аксиоме А4 прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Тогда в плоскости \(\gamma\) лежали бы все три прямые, а вместе с ними и точки \(A\), \(B\) и \(C\).
Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\gamma\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны. Точки \(A\), \(B\) и \(C\) — общие точки этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали бы на одной прямой, что противоречит условию.
Следовательно, прямые \(b\) и \(c\) являются скрещивающимися.
Ответ: прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся.
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащих на одной прямой (рис. 4.18). Прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в точке \(D\), а прямая \(c\) — в точке \(E\). Докажите, что прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся.
Прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в точке \(D\), а прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в точке \(E\); как видно на рисунке, это разные точки.
Предположим, что прямые \(b\) и \(c\) не являются скрещивающимися. Тогда они лежат в одной плоскости; обозначим её \(\gamma\).
Точка \(D\) принадлежит прямой \(b\), а точка \(E\) — прямой \(c\), поэтому обе эти точки принадлежат плоскости \(\gamma\). Точки \(D\) и \(E\) принадлежат прямой \(a\), значит, по аксиоме А4 прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Следовательно, все три прямые \(a\), \(b\) и \(c\) лежали бы в плоскости \(\gamma\), а вместе с ними и точки \(A\), \(B\) и \(C\).
Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\) и потому не принадлежит плоскости \(\alpha\), а плоскости \(\gamma\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны. Точки \(A\), \(B\) и \(C\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Значит, точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали бы на одной прямой, что противоречит условию.
Следовательно, прямые \(b\) и \(c\) являются скрещивающимися.
Ответ: прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся.
