Страница 44 номер 4.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(AC = CB\)
\(BB_1 = 18\) см
\(CC_1 = 15\) см
отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\beta\)

Найти: отрезок \(AA_1\).

Решение: Прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\). Известно, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости, поэтому эти три прямые лежат в одной плоскости; обозначим её \(\gamma\).

Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\beta\) и потому не принадлежит ей, а плоскости \(\gamma\) принадлежит, значит, плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны. Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки \(A_1\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат на одной прямой.

Отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\beta\), поэтому точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\gamma\) по одну сторону от прямой \(A_1B_1\), и \(AA_1B_1B\) — четырёхугольник с параллельными сторонами \(AA_1\) и \(BB_1\).

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки, поэтому из \(AC = CB\) следует \(A_1C_1 = C_1B_1\), то есть \(C_1\) — середина отрезка \(A_1B_1\).

Значит, отрезок \(CC_1\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\) четырёхугольника \(AA_1B_1B\).

Если \(AA_1 = BB_1\), то \(AA_1B_1B\) — параллелограмм и отрезок \(CC_1\), соединяющий середины его противолежащих сторон \(AB\) и \(A_1B_1\), равен стороне \(AA_1\). Если же \(AA_1 \ne BB_1\), то \(AA_1B_1B\) — трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(BB_1\), а \(CC_1\) — её средняя линия, которая равна полусумме оснований. В обоих случаях \(CC_1 = \dfrac{AA_1 + BB_1}{2}\).

Отсюда \(AA_1 = 2 \cdot CC_1 - BB_1 = 2 \cdot 15 - 18 = 12\) (см).

Ответ: \(AA_1 = 12\) см.