Страница 27 номер 3.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.31). Точка \(E\) принадлежит прямой \(A_1B_1\), точка \(F\) — прямой \(BB_1\), точка \(M\) — прямой \(B_1C_1\). Постройте сечение призмы плоскостью \(EFM\).
Точки \(E\) и \(M\) лежат на прямых \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\), а эти прямые по аксиоме А4 принадлежат плоскости верхнего основания \(A_1B_1C_1\), значит, \(E\) и \(M\) — общие точки секущей плоскости и плоскости верхнего основания. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и этой прямой принадлежат все их общие точки, в частности \(E\) и \(M\); через две точки проходит только одна прямая, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой \(EM\).
Точка \(F\) лежит на прямой \(BB_1\), которая принадлежит и плоскости грани \(ABB_1A_1\), и плоскости грани \(BCC_1B_1\); точка \(E\) принадлежит первой из них, точка \(M\) — второй. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(ABB_1A_1\) по прямой \(EF\), а плоскость грани \(BCC_1B_1\) — по прямой \(FM\).
Отрезки этих трёх прямых, лежащие на гранях призмы, и являются сторонами сечения.
а) Точки \(E\) и \(M\) лежат на рёбрах \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\), прямая \(EF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(P\), прямая \(FM\) — ребро \(BC\) в точке \(Q\). Тогда секущая плоскость пересекает верхнее основание по отрезку \(EM\), грань \(ABB_1A_1\) — по отрезку \(EP\), грань \(BCC_1B_1\) — по отрезку \(MQ\), а грань \(ABCD\) — по отрезку \(PQ\), так как точки \(P\) и \(Q\) лежат в плоскости нижнего основания.
Значит, четырёхугольник \(EPQM\) — искомое сечение; точка \(F\) лежит вне призмы и вершиной сечения не является.
б) Точка \(F\) лежит на ребре \(BB_1\), точка \(M\) — на ребре \(B_1C_1\), прямая \(EF\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(G\), прямая \(EM\) — ребро \(A_1D_1\) в точке \(H\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(FM\), грань \(ABB_1A_1\) — по отрезку \(GF\), верхнее основание — по отрезку \(MH\), а грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(HG\), так как точки \(G\) и \(H\) лежат в плоскости этой грани.
Значит, четырёхугольник \(GFMH\) — искомое сечение; точка \(E\) лежит вне призмы.
в) Прямая \(EM\) пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(T\), прямая \(EF\) — ребро \(AB\) в точке \(P\), прямая \(FM\) — ребро \(BC\) в точке \(Q\) и ребро \(CC_1\) в точке \(R\). Тогда секущая плоскость пересекает верхнее основание по отрезку \(ET\), грань \(ABB_1A_1\) — по отрезку \(EP\), грань \(BCC_1B_1\) — по отрезку \(QR\), грань \(ABCD\) — по отрезку \(PQ\) (точки \(P\) и \(Q\) лежат в плоскости нижнего основания), грань \(CDD_1C_1\) — по отрезку \(RT\) (точки \(R\) и \(T\) лежат в плоскости этой грани).
Значит, пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение; ни точка \(F\), ни точка \(M\) его вершинами не являются.
г) Прямая \(EF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(P\) и ребро \(AA_1\) в точке \(G\); прямая \(FM\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(Q\) и ребро \(CC_1\) в точке \(R\).
Прямая \(EM\) пересекает рёбра \(A_1D_1\) и \(C_1D_1\) соответственно в точках \(H\) и \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(GP\), грань \(ABCD\) — по отрезку \(PQ\), грань \(BCC_1B_1\) — по отрезку \(QR\), грань \(CDD_1C_1\) — по отрезку \(RT\), верхнее основание — по отрезку \(TH\), грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(HG\).
Значит, шестиугольник \(PQRTHG\) — искомое сечение; ни одна из точек \(E\), \(F\), \(M\) его вершиной не является: все три лежат вне призмы.
Ответ: а) четырёхугольник \(EPQM\), где \(P\) и \(Q\) — точки пересечения прямых \(EF\) и \(FM\) с рёбрами \(AB\) и \(BC\); б) четырёхугольник \(GFMH\), где \(G\) — точка пересечения прямой \(EF\) с ребром \(AA_1\), а \(H\) — точка пересечения прямой \(EM\) с ребром \(A_1D_1\); в) пятиугольник \(EPQRT\) с вершинами на рёбрах \(A_1B_1\), \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\); г) шестиугольник \(PQRTHG\) с вершинами на рёбрах \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(A_1D_1\), \(AA_1\).
Дана призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.31). Точка \(E\) принадлежит прямой \(A_1B_1\), точка \(F\) — прямой \(BB_1\), точка \(M\) — прямой \(B_1C_1\). Постройте сечение призмы плоскостью \(EFM\).
Во всех четырёх случаях построение идёт по одной схеме.
Точки \(E\) и \(M\) лежат на прямых \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\), а эти прямые по аксиоме А4 принадлежат плоскости верхнего основания \(A_1B_1C_1\). Значит, \(E\) и \(M\) — общие точки секущей плоскости и плоскости верхнего основания. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и этой прямой принадлежат все их общие точки, в частности \(E\) и \(M\). Через две точки проходит только одна прямая, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость верхнего основания по прямой \(EM\).
Точка \(F\) лежит на прямой \(BB_1\), которая принадлежит и плоскости грани \(ABB_1A_1\), и плоскости грани \(BCC_1B_1\). Точка \(E\) принадлежит первой из них, точка \(M\) — второй. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(ABB_1A_1\) по прямой \(EF\), а плоскость грани \(BCC_1B_1\) — по прямой \(FM\).
Отрезки этих трёх прямых, лежащие на гранях призмы, и являются сторонами сечения.
а) Точки \(E\) и \(M\) лежат на рёбрах \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\), поэтому секущая плоскость пересекает верхнее основание по отрезку \(EM\). Прямая \(EF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(P\), прямая \(FM\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(Q\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(EP\), а грань \(BCC_1B_1\) — по отрезку \(MQ\). Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости нижнего основания, поэтому секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по отрезку \(PQ\).
Значит, четырёхугольник \(EPQM\) — искомое сечение. Точка \(F\) лежит вне призмы и вершиной сечения не является; секущая плоскость отсекает от призмы часть с ребром \(BB_1\).
б) Точка \(F\) лежит на ребре \(BB_1\), а точка \(M\) — на ребре \(B_1C_1\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(BCC_1B_1\) по отрезку \(FM\). Прямая \(EF\) пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(G\), поэтому грань \(ABB_1A_1\) секущая плоскость пересекает по отрезку \(GF\). Прямая \(EM\) пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(H\), поэтому верхнее основание секущая плоскость пересекает по отрезку \(MH\). Точки \(G\) и \(H\) принадлежат плоскости грани \(ADD_1A_1\), поэтому эту грань секущая плоскость пересекает по отрезку \(HG\).
Значит, четырёхугольник \(GFMH\) — искомое сечение. Точка \(E\) лежит вне призмы; секущая плоскость отсекает от призмы часть с ребром \(A_1B_1\).
в) Прямая \(EM\) пересекает ребро \(C_1D_1\) в точке \(T\), поэтому секущая плоскость пересекает верхнее основание по отрезку \(ET\). Прямая \(EF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(P\), поэтому грань \(ABB_1A_1\) секущая плоскость пересекает по отрезку \(EP\). Прямая \(FM\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(Q\) и ребро \(CC_1\) в точке \(R\), поэтому грань \(BCC_1B_1\) секущая плоскость пересекает по отрезку \(QR\). Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости нижнего основания — получаем отрезок \(PQ\); точки \(R\) и \(T\) принадлежат плоскости грани \(CDD_1C_1\) — получаем отрезок \(RT\).
Значит, пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение. Ни точка \(F\), ни точка \(M\) его вершинами не являются.
г) Прямая \(EF\) пересекает ребро \(AB\) в точке \(P\) и ребро \(AA_1\) в точке \(G\); прямая \(FM\) пересекает ребро \(BC\) в точке \(Q\) и ребро \(CC_1\) в точке \(R\).
Прямая \(EM\) пересекает рёбра \(A_1D_1\) и \(C_1D_1\) соответственно в точках \(H\) и \(T\). Тогда секущая плоскость пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(GP\), грань \(ABCD\) — по отрезку \(PQ\), грань \(BCC_1B_1\) — по отрезку \(QR\), грань \(CDD_1C_1\) — по отрезку \(RT\), верхнее основание — по отрезку \(TH\), грань \(ADD_1A_1\) — по отрезку \(HG\).
Значит, шестиугольник \(PQRTHG\) — искомое сечение. Ни одна из точек \(E\), \(F\), \(M\) его вершиной не является: все три лежат вне призмы.
Ответ: а) четырёхугольник \(EPQM\), где \(P\) и \(Q\) — точки пересечения прямых \(EF\) и \(FM\) с рёбрами \(AB\) и \(BC\); б) четырёхугольник \(GFMH\), где \(G\) — точка пересечения прямой \(EF\) с ребром \(AA_1\), а \(H\) — точка пересечения прямой \(EM\) с ребром \(A_1D_1\); в) пятиугольник \(EPQRT\) с вершинами на рёбрах \(A_1B_1\), \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\); г) шестиугольник \(PQRTHG\) с вершинами на рёбрах \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(A_1D_1\), \(AA_1\).
