Страница 27 номер 3.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через: 1) точки \(A\), \(C\) и \(B_1\); 2) прямую \(BD\) и точку \(C_1\).
1) Точки \(A\), \(C\) и \(B_1\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость и притом только одна; она и есть секущая.
Точки \(A\) и \(C\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABC\), следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(AC\), а грань \(ABCD\) секущая плоскость пересекает по диагонали \(AC\). Так же точки \(A\) и \(B_1\) являются общими для неё и плоскости грани \(ABB_1A_1\), а точки \(C\) и \(B_1\) — для неё и плоскости грани \(BCC_1B_1\), поэтому эти грани секущая плоскость пересекает по отрезкам \(AB_1\) и \(B_1C\).
Отрезки \(AC\), \(CB_1\) и \(B_1A\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью куба секущая плоскость не имеет: с гранями \(A_1B_1C_1D_1\), \(CDD_1C_1\) и \(ADD_1A_1\) у неё по одной общей точке — соответственно \(B_1\), \(C\) и \(A\).
Значит, треугольник \(AB_1C\) — искомое сечение.
2) Точка \(C_1\) прямой \(BD\) не принадлежит, а через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна; она и есть секущая.
Аналогично точки \(B\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABC\), точки \(B\) и \(C_1\) — для неё и плоскости грани \(BCC_1B_1\), точки \(D\) и \(C_1\) — для неё и плоскости грани \(CDD_1C_1\), поэтому секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по диагонали \(BD\), грань \(BCC_1B_1\) — по отрезку \(BC_1\), грань \(CDD_1C_1\) — по отрезку \(DC_1\).
Отрезки \(BD\), \(DC_1\) и \(C_1B\) образуют замкнутую линию, значит, треугольник \(BDC_1\) — искомое сечение.
Ответ: 1) треугольник \(AB_1C\); 2) треугольник \(BDC_1\).
Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через: 1) точки \(A\), \(C\) и \(B_1\); 2) прямую \(BD\) и точку \(C_1\).
1) Точки \(A\), \(C\) и \(B_1\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость и притом только одна; она и есть секущая.
Точки \(A\) и \(C\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABC\). Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой \(AC\), а секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по диагонали \(AC\).
Точки \(A\) и \(B_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(ABB_1A_1\). Следовательно, секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(AB_1\).
Точки \(C\) и \(B_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(BCC_1B_1\). Следовательно, секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(B_1C\).
Отрезки \(AC\), \(CB_1\) и \(B_1A\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью куба секущая плоскость не имеет. С гранями \(A_1B_1C_1D_1\), \(CDD_1C_1\) и \(ADD_1A_1\) у неё по одной общей точке — соответственно \(B_1\), \(C\) и \(A\).
Значит, треугольник \(AB_1C\) — искомое сечение; секущая плоскость отсекает от куба часть с вершиной \(B\).
2) Точка \(C_1\) прямой \(BD\) не принадлежит, а через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна; она и есть секущая.
Точки \(B\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABC\). Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(ABCD\) по диагонали \(BD\).
Точки \(B\) и \(C_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(BCC_1B_1\). Следовательно, секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(BC_1\).
Точки \(D\) и \(C_1\) являются общими для секущей плоскости и плоскости грани \(CDD_1C_1\). Следовательно, секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(DC_1\).
Отрезки \(BD\), \(DC_1\) и \(C_1B\) образуют замкнутую линию, значит, треугольник \(BDC_1\) — искомое сечение; секущая плоскость отсекает от куба часть с вершиной \(C\).
Ответ: 1) треугольник \(AB_1C\); 2) треугольник \(BDC_1\).
