Страница 27 номер 3.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На боковых рёбрах \(SA\) и \(SC\) пирамиды \(SABCD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
Точки \(A\), \(S\) и \(C\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(ASC\); эта плоскость содержит боковые рёбра \(SA\) и \(SC\) и диагональ \(AC\) основания.
Точки \(M\) и \(K\) лежат на рёбрах \(SA\) и \(SC\), а по аксиоме А4 прямые \(SA\) и \(SC\) принадлежат плоскости \(ASC\), поэтому \(M \in ASC\) и \(K \in ASC\). Тогда по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит плоскости \(ASC\).
Диагональ \(AC\) также принадлежит плоскости \(ASC\). Будем считать, что точки \(M\) и \(K\) отмечены так, что прямые \(MK\) и \(AC\) пересекаются: в случае параллельности искомой точки не существует, ведь всякая общая точка прямой \(MK\) и плоскости \(ABC\) принадлежит и плоскости \(ASC\), а значит, лежит на прямой \(AC\). Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Прямая \(AC\) по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(X\) лежит на прямой \(AC\), значит, \(X \in ABC\); кроме того, точка \(X\) лежит на прямой \(MK\).
Прямая \(MK\) плоскости \(ABC\) не принадлежит, так как точка \(M\) лежит на боковом ребре \(SA\) и плоскости основания не принадлежит. Прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки, следовательно, прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\).
Точка \(X\) лежит вне отрезка \(AC\): прямая \(MK\) разделяет вершину \(S\) и сторону \(AC\) треугольника \(ASC\).
Рёбра \(SA\) и \(SC\) не лежат в одной боковой грани, поэтому вспомогательной прямой здесь служит не сторона основания, а его диагональ \(AC\).
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(MK\) с диагональю \(AC\) основания; она лежит на продолжении отрезка \(AC\).
На боковых рёбрах \(SA\) и \(SC\) пирамиды \(SABCD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
Точки \(A\), \(S\) и \(C\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(ASC\); эта плоскость содержит боковые рёбра \(SA\) и \(SC\) и диагональ \(AC\) основания.
Точка \(M\) лежит на ребре \(SA\), а по аксиоме А4 прямая \(SA\) принадлежит плоскости \(ASC\), поэтому \(M \in ASC\). Аналогично \(K \in ASC\). Тогда по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит плоскости \(ASC\).
Диагональ \(AC\) основания также принадлежит плоскости \(ASC\). Прямые \(MK\) и \(AC\) лежат в одной плоскости, поэтому они или параллельны, или пересекаются. Будем считать, что точки \(M\) и \(K\) отмечены так, что прямые \(MK\) и \(AC\) пересекаются: в случае параллельности искомой точки не существует, ведь всякая общая точка прямой \(MK\) и плоскости \(ABC\) принадлежит и плоскости \(ASC\), а значит, лежит на прямой \(AC\). Пусть \(X\) — точка пересечения прямых \(MK\) и \(AC\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(X\) лежит на прямой \(AC\), значит, \(X \in ABC\). Кроме того, точка \(X\) лежит на прямой \(MK\).
Прямая \(MK\) плоскости \(ABC\) не принадлежит: точка \(M\) лежит на боковом ребре \(SA\) и плоскости основания не принадлежит. Прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки. Следовательно, \(X\) — единственная общая точка прямой \(MK\) и плоскости \(ABC\), то есть прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\).
Точка \(X\) лежит вне отрезка \(AC\): прямая \(MK\) разделяет вершину \(S\) и сторону \(AC\) треугольника \(ASC\), поэтому с самим отрезком \(AC\) она общих точек не имеет.
Рёбра \(SA\) и \(SC\) не лежат в одной боковой грани, поэтому вспомогательной прямой здесь служит не сторона основания, а его диагональ \(AC\).
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(MK\) с диагональю \(AC\) основания; она лежит на продолжении отрезка \(AC\).
