Страница 26 номер 3.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На боковых рёбрах \(SA\) и \(SB\) пирамиды \(SABCD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
Точки \(M\) и \(K\) лежат на рёбрах \(SA\) и \(SB\), а прямые \(SA\) и \(SB\) по аксиоме А4 принадлежат плоскости \(SAB\), поэтому \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(SAB\). Тогда по аксиоме А4 и прямая \(MK\) принадлежит плоскости \(SAB\).
Прямая \(AB\) также принадлежит плоскости \(SAB\). Будем считать, что точки \(M\) и \(K\) отмечены так, что прямые \(MK\) и \(AB\) пересекаются: в случае параллельности искомой точки не существует, ведь всякая общая точка прямой \(MK\) и плоскости \(ABC\) принадлежит и плоскости \(SAB\), а значит, лежит на прямой \(AB\). Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Прямая \(AB\) по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(X\) лежит на прямой \(AB\), значит, \(X \in ABC\); кроме того, точка \(X\) лежит на прямой \(MK\).
Прямая \(MK\) плоскости \(ABC\) не принадлежит, так как точка \(M\) лежит на боковом ребре \(SA\) и плоскости основания не принадлежит. Прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки, следовательно, прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\).
Точка \(X\) лежит вне отрезка \(AB\): прямая \(MK\) разделяет вершину \(S\) и сторону \(AB\) треугольника \(SAB\).
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(MK\) с прямой \(AB\); она лежит на продолжении ребра \(AB\) основания.
На боковых рёбрах \(SA\) и \(SB\) пирамиды \(SABCD\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте точку пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
Точки \(S\), \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(SAB\), поэтому по аксиоме А4 этой плоскости принадлежат прямые \(SA\) и \(SB\), а вместе с ними — отмеченные на рёбрах точки \(M\) и \(K\). Тогда по аксиоме А4 и прямая \(MK\) принадлежит плоскости \(SAB\).
Прямая \(AB\) также принадлежит плоскости \(SAB\). Из планиметрии известно, что прямые, лежащие в одной плоскости, или параллельны, или пересекаются. Будем считать, что точки \(M\) и \(K\) отмечены так, что прямые \(MK\) и \(AB\) пересекаются: в случае параллельности искомой точки не существует, ведь всякая общая точка прямой \(MK\) и плоскости \(ABC\) принадлежит и плоскости \(SAB\), а значит, лежит на прямой \(AB\). Пусть \(X\) — точка пересечения прямых \(MK\) и \(AB\).
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(X\) лежит на прямой \(AB\), значит, \(X \in ABC\). Кроме того, точка \(X\) лежит на прямой \(MK\).
Прямая \(MK\) плоскости \(ABC\) не принадлежит: точка \(M\) лежит на боковом ребре \(SA\) и плоскости основания не принадлежит. Прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки. Следовательно, \(X\) — единственная общая точка прямой \(MK\) и плоскости \(ABC\), то есть прямая \(MK\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(X\).
Точка \(X\) лежит вне отрезка \(AB\): прямая \(MK\) разделяет вершину \(S\) и сторону \(AB\) треугольника \(SAB\), поэтому с самим отрезком \(AB\) она общих точек не имеет.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(MK\) с прямой \(AB\); она лежит на продолжении ребра \(AB\) основания.
