Страница 26 номер 3.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) принадлежит грани \(ASC\) тетраэдра \(SABC\), точка \(D\) — ребру \(BC\) (рис. 3.30). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(SD\) и точку \(M\).
Точка \(M\) не принадлежит прямой \(SD\), поэтому через прямую \(SD\) и точку \(M\) проходит плоскость и притом только одна.
Точки \(S\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ASC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(SM\) принадлежит этой плоскости. Точка \(M\) лежит внутри треугольника \(ASC\), поэтому луч \(SM\) пересекает сторону \(AC\). Пусть \(N\) — точка пересечения прямой \(SM\) с ребром \(AC\).
Прямая \(AC\) по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(N\) лежит на прямой \(AC\) и на прямой \(SM\), принадлежащей секущей плоскости; значит, \(N\) — общая точка секущей плоскости и плоскости \(ABC\). Точка \(D\) лежит на ребре \(BC\), поэтому \(D \in ABC\).
Точки \(S\) и \(N\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ASC\), следовательно, грань \(ASC\) секущая плоскость пересекает по отрезку \(SN\). Точки \(N\) и \(D\) являются общими для неё и плоскости \(ABC\), а точки \(S\) и \(D\) — для неё и плоскости \(BSC\), поэтому грань \(ABC\) она пересекает по отрезку \(ND\), а грань \(BSC\) — по отрезку \(SD\).
С гранью \(ASB\) секущая плоскость имеет единственную общую точку \(S\). Отрезки \(SN\), \(ND\) и \(DS\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью тетраэдра секущая плоскость не имеет, и треугольник \(SND\) — искомое сечение.
Ответ: треугольник \(SND\), где \(N\) — точка пересечения прямой \(SM\) с ребром \(AC\), — искомое сечение.
Точка \(M\) принадлежит грани \(ASC\) тетраэдра \(SABC\), точка \(D\) — ребру \(BC\) (рис. 3.30). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(SD\) и точку \(M\).
Точка \(M\) не принадлежит прямой \(SD\), поэтому через прямую \(SD\) и точку \(M\) проходит плоскость и притом только одна.
Точка \(S\) — вершина грани \(ASC\), а точка \(M\) принадлежит этой грани, значит, обе они принадлежат плоскости \(ASC\). По аксиоме А4 прямая \(SM\) принадлежит плоскости \(ASC\). Прямые \(SM\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ASC\); точка \(M\) лежит внутри треугольника \(ASC\), поэтому луч \(SM\) пересекает сторону \(AC\). Пусть \(N\) — точка пересечения прямой \(SM\) с ребром \(AC\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(ABC\); точка \(N\) лежит на этой прямой, значит, \(N \in ABC\). Кроме того, \(N\) лежит на прямой \(SM\), а прямая \(SM\) принадлежит секущей плоскости. Значит, \(N\) — общая точка секущей плоскости и плоскости \(ABC\).
Точки \(S\) и \(N\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ASC\). Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(ASC\) по отрезку \(SN\).
Точка \(D\) лежит на ребре \(BC\), поэтому \(D \in ABC\). Точки \(N\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABC\). Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(ND\).
Точки \(S\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(BSC\). Следовательно, секущая плоскость пересекает грань \(BSC\) по отрезку \(SD\).
С гранью \(ASB\) секущая плоскость имеет единственную общую точку \(S\). Отрезки \(SN\), \(ND\) и \(DS\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью тетраэдра секущая плоскость не имеет.
Значит, треугольник \(SND\) — искомое сечение.
Ответ: треугольник \(SND\), где \(N\) — точка пересечения прямой \(SM\) с ребром \(AC\), — искомое сечение.
