Страница 26 номер 3.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(BC\) тетраэдра \(SABC\) отметили точку \(D\). Какая прямая является линией пересечения плоскостей: 1) \(ASD\) и \(ABC\); 2) \(ASD\) и \(BSC\); 3) \(ASD\) и \(ASC\)? Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(ASD\).
По аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит и плоскости \(ABC\), и плоскости \(BSC\), а точка \(D\) лежит на ребре \(BC\), значит, \(D \in ABC\) и \(D \in BSC\).
1) Точки \(A\) и \(D\) являются общими для плоскостей \(ASD\) и \(ABC\). Эти плоскости различны, так как точка \(S\) плоскости \(ABC\) не принадлежит. По аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и этой прямой принадлежат все их общие точки, в частности \(A\) и \(D\). Через две точки проходит только одна прямая, поэтому линия пересечения — прямая \(AD\).
2) Точки \(S\) и \(D\) являются общими для плоскостей \(ASD\) и \(BSC\). Эти плоскости различны, так как точка \(A\) плоскости \(BSC\) не принадлежит. Следовательно, они пересекаются по прямой \(SD\).
3) Точки \(A\) и \(S\) являются общими для плоскостей \(ASD\) и \(ASC\). Эти плоскости различны, так как точка \(D\) плоскости \(ASC\) не принадлежит: прямая \(BC\) имеет с плоскостью \(ASC\) единственную общую точку \(C\), а \(D \ne C\). Следовательно, плоскости \(ASD\) и \(ASC\) пересекаются по прямой \(AS\).
По доказанному секущая плоскость \(ASD\) пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(AD\), а грань \(BSC\) — по отрезку \(SD\). Точки \(A\) и \(S\) принадлежат секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 ей принадлежит и всё ребро \(AS\); по этому ребру секущая плоскость примыкает к граням \(ASB\) и \(ASC\).
Отрезки \(AD\), \(DS\) и \(SA\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью тетраэдра секущая плоскость не имеет. Значит, треугольник \(ASD\) — искомое сечение.
Ответ: 1) прямая \(AD\); 2) прямая \(SD\); 3) прямая \(AS\); сечением тетраэдра плоскостью \(ASD\) является треугольник \(ASD\).
На ребре \(BC\) тетраэдра \(SABC\) отметили точку \(D\). Какая прямая является линией пересечения плоскостей: 1) \(ASD\) и \(ABC\); 2) \(ASD\) и \(BSC\); 3) \(ASD\) и \(ASC\)? Постройте сечение тетраэдра плоскостью \(ASD\).
Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит этой плоскости. Точка \(D\) лежит на ребре \(BC\), значит, \(D \in ABC\). Точно так же прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(BSC\), поэтому \(D \in BSC\).
1) Точки \(A\) и \(D\) являются общими для плоскостей \(ASD\) и \(ABC\). Эти плоскости различны, так как точка \(S\) плоскости \(ABC\) не принадлежит. По аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и этой прямой принадлежат все их общие точки, в частности \(A\) и \(D\). Через две точки проходит только одна прямая, поэтому линия пересечения — прямая \(AD\).
2) Точки \(S\) и \(D\) являются общими для плоскостей \(ASD\) и \(BSC\). Эти плоскости различны, так как точка \(A\) плоскости \(BSC\) не принадлежит. Следовательно, они пересекаются по прямой \(SD\).
3) Точки \(A\) и \(S\) являются общими для плоскостей \(ASD\) и \(ASC\). Эти плоскости различны, так как точка \(D\) плоскости \(ASC\) не принадлежит: прямая \(BC\) имеет с плоскостью \(ASC\) единственную общую точку \(C\), а \(D \ne C\). Следовательно, плоскости \(ASD\) и \(ASC\) пересекаются по прямой \(AS\).
Построим сечение тетраэдра плоскостью \(ASD\). Точки \(A\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(ABC\), значит, секущая плоскость пересекает грань \(ABC\) по отрезку \(AD\). Точки \(S\) и \(D\) являются общими для секущей плоскости и плоскости \(BSC\), значит, секущая плоскость пересекает грань \(BSC\) по отрезку \(SD\). Точки \(A\) и \(S\) принадлежат секущей плоскости, поэтому по аксиоме А4 ей принадлежит и всё ребро \(AS\); по этому ребру секущая плоскость примыкает к граням \(ASB\) и \(ASC\).
Отрезки \(AD\), \(DS\) и \(SA\) образуют замкнутую линию, поэтому других общих точек с поверхностью тетраэдра секущая плоскость не имеет.
Значит, треугольник \(ASD\) — искомое сечение.
Ответ: 1) прямая \(AD\); 2) прямая \(SD\); 3) прямая \(AS\); сечением тетраэдра плоскостью \(ASD\) является треугольник \(ASD\).
