Страница 16 номер 2.9, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(AB\) и \(AC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(B\) и \(C\), точки \(D\) и \(E\) принадлежат этой плоскости (рис. 2.3). Постройте точку пересечения прямой \(DE\) с плоскостью \(ABC\).
По условию \(B \in \alpha\) и \(C \in \alpha\), а также эти точки принадлежат плоскости \(ABC\). Значит, две точки прямой \(BC\) принадлежат каждой из плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\), и по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит им обеим.
Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) различны, так как точка \(A\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А5 они пересекаются по прямой, поэтому все их общие точки лежат на прямой \(BC\).
Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Прямые \(DE\) и \(BC\) лежат в одной плоскости \(\alpha\) и, как видно на рисунке, пересекаются; проведём их и обозначим \(X\) точку пересечения — она получается на продолжении отрезка \(BC\) за точку \(C\) и на продолжении отрезка \(DE\) за точку \(E\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(BC\), принадлежащей плоскости \(ABC\), значит, \(X \in ABC\); кроме того, \(X \in DE\), то есть \(X\) — общая точка прямой \(DE\) и плоскости \(ABC\). Прямая \(DE\) плоскости \(ABC\) не принадлежит: иначе она принадлежала бы и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABC\), то есть совпадала бы с прямой \(BC\), а точка \(D\) на прямой \(BC\) не лежит. Прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки, поэтому \(X\) — единственная искомая точка.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(DE\) с прямой \(BC\), по которой пересекаются плоскости \(\alpha\) и \(ABC\).
Прямые \(AB\) и \(AC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(B\) и \(C\), точки \(D\) и \(E\) принадлежат этой плоскости (рис. 2.3). Постройте точку пересечения прямой \(DE\) с плоскостью \(ABC\).
Прямые \(AB\) и \(AC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(B\) и \(C\), поэтому \(B \in \alpha\) и \(C \in \alpha\). Точки \(B\) и \(C\) принадлежат также плоскости \(ABC\). Значит, две точки прямой \(BC\) принадлежат каждой из плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\), и по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит им обеим.
Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) различны, так как точка \(A\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. По аксиоме А5 две плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, поэтому все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\) лежат на одной прямой, и эта прямая — прямая \(BC\).
Точки \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Прямые \(DE\) и \(BC\) лежат в одной плоскости \(\alpha\) и, как видно на рисунке, пересекаются. Проведём прямые \(BC\) и \(DE\) и обозначим \(X\) точку их пересечения; она получается на продолжении отрезка \(BC\) за точку \(C\) и на продолжении отрезка \(DE\) за точку \(E\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(BC\), а прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\), значит, \(X \in ABC\). Кроме того, \(X \in DE\). Следовательно, \(X\) — общая точка прямой \(DE\) и плоскости \(ABC\). Прямая \(DE\) плоскости \(ABC\) не принадлежит: иначе она принадлежала бы и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABC\), то есть совпадала бы с прямой \(BC\), а точка \(D\) на прямой \(BC\) не лежит. Прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки, поэтому \(X\) — единственная искомая точка.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(DE\) с прямой \(BC\), по которой пересекаются плоскости \(\alpha\) и \(ABC\).
