Страница 16 номер 2.10, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(BA\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), прямая \(BC\) — в точке \(C\) (рис. 2.4). На отрезке \(AB\) отметили точку \(D\), на отрезке \(BC\) — точку \(E\). Постройте точку пересечения прямой \(DE\) с плоскостью \(\alpha\).
По условию \(A \in \alpha\), \(C \in \alpha\) и \(B \notin \alpha\). Точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой: иначе прямые \(BA\) и \(BC\) совпали бы, и одна прямая имела бы с плоскостью \(\alpha\) две различные общие точки \(A\) и \(C\), а прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки. Значит, плоскость \(ABC\) существует.
По аксиоме А4 прямые \(AB\) и \(BC\) принадлежат плоскости \(ABC\), а точки \(D\) и \(E\) лежат на отрезках \(AB\) и \(BC\), поэтому \(D \in ABC\) и \(E \in ABC\), и по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит плоскости \(ABC\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит обеим плоскостям. Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) различны, так как \(B \notin \alpha\); по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на прямой \(AC\).
Прямые \(DE\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ABC\) и, как видно на рисунке, пересекаются; проведём их и обозначим \(X\) точку пересечения — она получается на продолжении отрезка \(AC\) за точку \(C\) и на продолжении отрезка \(DE\) за точку \(E\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(AC\), принадлежащей плоскости \(\alpha\), значит, \(X \in \alpha\); кроме того, \(X \in DE\). Точка \(D\) лежит на отрезке \(AB\) и отлична от \(A\), а прямая \(AB\) имеет с плоскостью \(\alpha\) единственную общую точку \(A\), поэтому \(D \notin \alpha\) и прямая \(DE\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. Значит, у прямой \(DE\) и плоскости \(\alpha\) не более одной общей точки, и \(X\) — искомая точка.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(DE\) с прямой \(AC\), по которой пересекаются плоскости \(ABC\) и \(\alpha\).
Прямая \(BA\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), прямая \(BC\) — в точке \(C\) (рис. 2.4). На отрезке \(AB\) отметили точку \(D\), на отрезке \(BC\) — точку \(E\). Постройте точку пересечения прямой \(DE\) с плоскостью \(\alpha\).
Прямая \(BA\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\), а прямая \(BC\) — в точке \(C\), поэтому \(A \in \alpha\), \(C \in \alpha\) и \(B \notin \alpha\). Точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой: иначе прямые \(BA\) и \(BC\) совпали бы, и одна прямая имела бы с плоскостью \(\alpha\) две различные общие точки \(A\) и \(C\), а прямая, не принадлежащая плоскости, имеет с ней не более одной общей точки. Значит, плоскость \(ABC\) существует.
Точка \(D\) лежит на отрезке \(AB\), а точка \(E\) — на отрезке \(BC\); по аксиоме А4 прямые \(AB\) и \(BC\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому \(D \in ABC\) и \(E \in ABC\), и по аксиоме А4 прямая \(DE\) принадлежит плоскости \(ABC\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит обеим плоскостям. Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) различны, так как \(B \notin \alpha\); по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на прямой \(AC\).
Прямые \(DE\) и \(AC\) лежат в одной плоскости \(ABC\) и, как видно на рисунке, пересекаются. Проведём прямые \(AC\) и \(DE\) и обозначим \(X\) точку их пересечения; она получается на продолжении отрезка \(AC\) за точку \(C\) и на продолжении отрезка \(DE\) за точку \(E\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(AC\), а прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, \(X \in \alpha\). Кроме того, \(X \in DE\). Точка \(D\) лежит на отрезке \(AB\) и отлична от \(A\), а прямая \(AB\) имеет с плоскостью \(\alpha\) единственную общую точку \(A\), поэтому \(D \notin \alpha\) и прямая \(DE\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. Значит, у прямой \(DE\) и плоскости \(\alpha\) не более одной общей точки, и \(X\) — искомая точка.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(DE\) с прямой \(AC\), по которой пересекаются плоскости \(ABC\) и \(\alpha\).
