Страница 16 номер 2.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(m\) и \(n\) пересекаются в точке \(A\). Точка \(B\) принадлежит прямой \(m\), точка \(C\) — прямой \(n\), точка \(D\) — прямой \(BC\). Докажите, что прямые \(m\) и \(n\) и точка \(D\) лежат в одной плоскости.
Прямые \(m\) и \(n\) пересекаются, поэтому через них проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Тогда \(m \subset \alpha\) и \(n \subset \alpha\).
Точка \(B\) лежит на прямой \(m\), а точка \(C\) — на прямой \(n\), поэтому \(B \in \alpha\) и \(C \in \alpha\). Точки \(B\) и \(C\) различны — иначе прямой \(BC\) не существовало бы.
Две точки \(B\) и \(C\) прямой \(BC\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Точка \(D\) лежит на прямой \(BC\), следовательно, \(D \in \alpha\).
Ответ: прямые \(m\) и \(n\) и точка \(D\) лежат в одной плоскости — в плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые \(m\) и \(n\).
Прямые \(m\) и \(n\) пересекаются в точке \(A\). Точка \(B\) принадлежит прямой \(m\), точка \(C\) — прямой \(n\), точка \(D\) — прямой \(BC\). Докажите, что прямые \(m\) и \(n\) и точка \(D\) лежат в одной плоскости.
Прямые \(m\) и \(n\) пересекаются, поэтому через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Тогда \(m \subset \alpha\) и \(n \subset \alpha\).
Точка \(B\) принадлежит прямой \(m\), а прямая \(m\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(B \in \alpha\). Аналогично точка \(C\) принадлежит прямой \(n\), принадлежащей плоскости \(\alpha\), поэтому \(C \in \alpha\). Точки \(B\) и \(C\) различны — иначе прямой \(BC\) не существовало бы.
Две точки \(B\) и \(C\) прямой \(BC\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Точка \(D\) лежит на прямой \(BC\), следовательно, \(D \in \alpha\).
Ответ: прямые \(m\) и \(n\) и точка \(D\) лежат в одной плоскости — в плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые \(m\) и \(n\).
