Страница 16 номер 2.7, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны прямая \(a\) и точка \(A\) вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку \(A\) и пересекают прямую \(a\), лежат в одной плоскости.
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна; проведём через прямую \(a\) и точку \(A\) плоскость \(\alpha\). Тогда \(a \subset \alpha\) и \(A \in \alpha\).
Пусть \(b\) — произвольная прямая, которая проходит через точку \(A\) и пересекает прямую \(a\) в точке \(X\). Точка \(X\) лежит на прямой \(a\), принадлежащей плоскости \(\alpha\), поэтому \(X \in \alpha\); кроме того, \(A \in \alpha\). Точки \(A\) и \(X\) различны, так как точка \(A\) не лежит на прямой \(a\), а точка \(X\) лежит.
Две точки \(A\) и \(X\) прямой \(b\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(b\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Прямая \(b\) была выбрана произвольно, поэтому все такие прямые лежат в одной плоскости \(\alpha\).
Существенно, что точка \(A\) не принадлежит прямой \(a\): именно поэтому у каждой такой прямой есть с плоскостью \(\alpha\) две различные общие точки. Если бы прямые проводились через точку самой прямой \(a\), общая точка была бы одна, и такие прямые в одной плоскости не лежали бы.
Ответ: все прямые, которые проходят через точку \(A\) и пересекают прямую \(a\), лежат в одной плоскости — в плоскости, проходящей через прямую \(a\) и точку \(A\).
Даны прямая \(a\) и точка \(A\) вне её. Докажите, что все прямые, которые проходят через точку \(A\) и пересекают прямую \(a\), лежат в одной плоскости.
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна. Проведём через прямую \(a\) и точку \(A\) плоскость \(\alpha\); тогда \(a \subset \alpha\) и \(A \in \alpha\).
Пусть \(b\) — произвольная прямая, которая проходит через точку \(A\) и пересекает прямую \(a\), и пусть \(X\) — точка пересечения прямых \(b\) и \(a\). Точка \(X\) лежит на прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(X \in \alpha\). Кроме того, \(A \in \alpha\). Точки \(A\) и \(X\) различны, так как точка \(A\) не лежит на прямой \(a\), а точка \(X\) лежит.
Две точки \(A\) и \(X\) прямой \(b\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(b\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Прямая \(b\) была выбрана произвольно, поэтому все такие прямые лежат в одной плоскости \(\alpha\).
Существенно, что точка \(A\) не принадлежит прямой \(a\): именно поэтому у каждой такой прямой есть с плоскостью \(\alpha\) две различные общие точки. Если бы прямые проводились через точку самой прямой \(a\), общая точка была бы одна, и такие прямые в одной плоскости не лежали бы.
Ответ: все прямые, которые проходят через точку \(A\) и пересекают прямую \(a\), лежат в одной плоскости — в плоскости, проходящей через прямую \(a\) и точку \(A\).
