Страница 16 номер 2.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые \(a\) и \(b\), лежат в одной плоскости?
Пусть \(a \cap b = M\). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\).
По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(N\), ей не принадлежащая; проведём прямую \(MN\). Она отлична от прямых \(a\) и \(b\), ведь те принадлежат плоскости \(\alpha\), а \(N \notin \alpha\). Прямая \(MN\) имеет с каждой из прямых \(a\) и \(b\) общую точку \(M\), значит, она пересекает обе данные прямые.
При этом прямая \(MN\) не лежит в плоскости \(\alpha\), ведь \(N \notin \alpha\): построена прямая, которая пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\), но не лежит в плоскости, проходящей через эти прямые.
Ответ: нет, не все: прямая, проходящая через точку пересечения прямых \(a\) и \(b\) и через точку, не принадлежащую плоскости этих прямых, пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\), но в этой плоскости не лежит.
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые \(a\) и \(b\), лежат в одной плоскости?
Пусть \(a \cap b = M\). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\).
По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(N\), ей не принадлежащая. Проведём прямую \(MN\). Она отлична от прямых \(a\) и \(b\), потому что те принадлежат плоскости \(\alpha\), а точка \(N\) этой плоскости не принадлежит. Прямая \(MN\) имеет с прямой \(a\) общую точку \(M\) и с прямой \(b\) — ту же общую точку \(M\), значит, прямая \(MN\) пересекает обе данные прямые.
При этом прямая \(MN\) не лежит в плоскости \(\alpha\), ведь \(N \notin \alpha\). Значит, построена прямая, которая пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\), но не лежит в плоскости, проходящей через эти прямые.
Ответ: нет, не все: прямая, проходящая через точку пересечения прямых \(a\) и \(b\) и через точку, не принадлежащую плоскости этих прямых, пересекает и прямую \(a\), и прямую \(b\), но в этой плоскости не лежит.
