Страница 16 номер 2.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона \(AC\) и центр \(O\) описанной окружности треугольника \(ABC\) лежат в плоскости \(\alpha\). Лежит ли в этой плоскости вершина \(B\)?
Пусть точки \(A\), \(C\) и \(O\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Описанная окружность треугольника \(ABC\) лежит в плоскости треугольника, поэтому центр \(O\) принадлежит плоскости \(ABC\). Ответ зависит от того, является ли сторона \(AC\) диаметром описанной окружности, то есть прямой ли угол \(B\).
Если угол \(B\) не прямой, то \(AC\) — не диаметр, центр \(O\) не лежит на прямой \(AC\), и точки \(A\), \(O\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Эти точки принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А3 плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) совпадают. Значит, вершина \(B\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Если же угол \(B\) прямой, то сторона \(AC\) — диаметр описанной окружности и \(O\) — середина отрезка \(AC\). Тогда точки \(A\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой и условие задаёт только прямую \(AC\). Через прямую \(AC\) проходит бесконечно много плоскостей, и в каждой из них можно построить треугольник с гипотенузой \(AC\), у которого центром описанной окружности будет та же точка \(O\). Поэтому вершина \(B\) может не принадлежать плоскости \(\alpha\).
Ответ: да, вершина \(B\) лежит в этой плоскости, если угол \(B\) треугольника не прямой; если же угол \(B\) прямой, то точки \(A\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой, плоскость треугольника условием не определена, и вершина \(B\) может этой плоскости не принадлежать.
Сторона \(AC\) и центр \(O\) описанной окружности треугольника \(ABC\) лежат в плоскости \(\alpha\). Лежит ли в этой плоскости вершина \(B\)?
Пусть точки \(A\), \(C\) и \(O\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Описанная окружность треугольника \(ABC\) лежит в плоскости треугольника, поэтому центр \(O\) принадлежит плоскости \(ABC\). Ответ зависит от того, является ли сторона \(AC\) диаметром описанной окружности, то есть прямой ли угол \(B\).
Если угол \(B\) не прямой, то \(AC\) — не диаметр, центр \(O\) не лежит на прямой \(AC\), и точки \(A\), \(O\) и \(C\) не лежат на одной прямой. По аксиоме А3 через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. Точки \(A\), \(O\) и \(C\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(ABC\), поэтому эти плоскости совпадают. Значит, вершина \(B\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Если же угол \(B\) прямой, то сторона \(AC\) — диаметр описанной окружности и \(O\) — середина отрезка \(AC\). Тогда точки \(A\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой и условие задаёт только прямую \(AC\). Через прямую \(AC\) проходит бесконечно много плоскостей, и в каждой из них можно построить треугольник с гипотенузой \(AC\), у которого центром описанной окружности будет та же точка \(O\). Поэтому вершина \(B\) может не принадлежать плоскости \(\alpha\).
Ответ: да, вершина \(B\) лежит в этой плоскости, если угол \(B\) треугольника не прямой; если же угол \(B\) прямой, то точки \(A\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой, плоскость треугольника условием не определена, и вершина \(B\) может этой плоскости не принадлежать.
