Страница 16 номер 2.4, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Центр \(O\) и хорда \(AB\) окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?
Пусть точки \(A\), \(B\) и \(O\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а данная окружность лежит в плоскости \(\beta\). Ответ зависит от того, является ли хорда \(AB\) диаметром окружности.
Если хорда \(AB\) не является диаметром, то центр \(O\) не лежит на прямой \(AB\), то есть точки \(A\), \(O\) и \(B\) не лежат на одной прямой. Эти точки принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А3 плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) совпадают. Значит, вся окружность лежит в плоскости \(\alpha\), и любая её точка \(M\) принадлежит этой плоскости.
Если же хорда \(AB\) — диаметр окружности, то \(O\) — середина отрезка \(AB\) и точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой. Три точки одной прямой плоскость не задают: через прямую \(AB\) проходит бесконечно много плоскостей, и в каждой из них есть окружность с центром \(O\) и диаметром \(AB\). Поэтому данная окружность может лежать не в плоскости \(\alpha\), и тогда любая её точка \(M\), отличная от \(A\) и \(B\), плоскости \(\alpha\) не принадлежит.
Ответ: да, любая точка окружности лежит в этой плоскости, если хорда \(AB\) не является диаметром; если же \(AB\) — диаметр, то точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой, плоскость окружности условием не определена, и точки окружности могут этой плоскости не принадлежать.
Центр \(O\) и хорда \(AB\) окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?
Пусть точки \(A\), \(B\) и \(O\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а данная окружность лежит в плоскости \(\beta\). Ответ зависит от того, является ли хорда \(AB\) диаметром окружности.
Если хорда \(AB\) не является диаметром, то центр \(O\) не лежит на прямой \(AB\), то есть точки \(A\), \(O\) и \(B\) не лежат на одной прямой. По аксиоме А3 через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. Точки \(A\), \(O\) и \(B\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), поэтому эти плоскости совпадают. Значит, вся окружность лежит в плоскости \(\alpha\), и любая её точка \(M\) принадлежит этой плоскости.
Если же хорда \(AB\) — диаметр окружности, то \(O\) — середина отрезка \(AB\) и точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой. Три точки одной прямой плоскость не задают: через прямую \(AB\) проходит бесконечно много плоскостей, и в каждой из них есть окружность с центром \(O\) и диаметром \(AB\). Поэтому данная окружность может лежать не в плоскости \(\alpha\), и тогда любая её точка \(M\), отличная от \(A\) и \(B\), плоскости \(\alpha\) не принадлежит.
Ответ: да, любая точка окружности лежит в этой плоскости, если хорда \(AB\) не является диаметром; если же \(AB\) — диаметр, то точки \(A\), \(O\) и \(B\) лежат на одной прямой, плоскость окружности условием не определена, и точки окружности могут этой плоскости не принадлежать.
