Страница 15 номер 2.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются. Докажите, что прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в одной плоскости.
Через две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(CD\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Тогда \(AB \subset \alpha\) и \(CD \subset \alpha\).
Точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(AB\), а точки \(C\) и \(D\) — на прямой \(CD\), поэтому \(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\), \(C \in \alpha\) и \(D \in \alpha\).
Две точки \(A\) и \(C\) прямой \(AC\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Точно так же две точки \(B\) и \(D\) прямой \(BD\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, \(BD \subset \alpha\).
Ответ: прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в одной плоскости — в плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые \(AB\) и \(CD\).
Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются. Докажите, что прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в одной плоскости.
Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются; пусть \(M\) — точка их пересечения. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Тогда \(AB \subset \alpha\) и \(CD \subset \alpha\).
Точки \(A\) и \(B\) лежат на прямой \(AB\), а прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(A \in \alpha\) и \(B \in \alpha\). Аналогично точки \(C\) и \(D\) лежат на прямой \(CD\), принадлежащей плоскости \(\alpha\), поэтому \(C \in \alpha\) и \(D \in \alpha\).
Две точки \(A\) и \(C\) прямой \(AC\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Точно так же две точки \(B\) и \(D\) прямой \(BD\) принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, \(BD \subset \alpha\).
Ответ: прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в одной плоскости — в плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые \(AB\) и \(CD\).
