Страница 15 номер 2.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?
Пусть точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(a\).
Какова бы ни была прямая, существуют точки, ей не принадлежащие, поэтому найдётся точка \(D\), не лежащая на прямой \(a\). Через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(D\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\) и \(C \in \alpha\): плоскость через три данные точки проведена.
По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(E\), ей не принадлежащая; через прямую \(a\) и точку \(E\) проходит плоскость \(\beta\), причём \(\beta \ne \alpha\), так как \(E \notin \alpha\). Плоскости \(\beta\) принадлежит прямая \(a\), а значит, и точки \(A\), \(B\), \(C\). Такое построение можно продолжать неограниченно.
Ответ: через три точки, лежащие на одной прямой, плоскость провести можно, и таких плоскостей бесконечно много.
Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?
Пусть точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(a\).
Какова бы ни была прямая, существуют точки, ей не принадлежащие, поэтому найдётся точка \(D\), не лежащая на прямой \(a\). Через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(D\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(a\), поэтому \(A \in \alpha\), \(B \in \alpha\) и \(C \in \alpha\). Плоскость через три данные точки проведена.
По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(E\), ей не принадлежащая. Через прямую \(a\) и точку \(E\) проходит плоскость \(\beta\), причём \(\beta \ne \alpha\), так как \(E \notin \alpha\). Плоскости \(\beta\) принадлежит прямая \(a\), а значит, и точки \(A\), \(B\), \(C\). Для плоскости \(\beta\) снова найдётся не принадлежащая ей точка, и через прямую \(a\) и эту точку пройдёт плоскость \(\gamma\), отличная от \(\beta\). Такое построение можно продолжать неограниченно.
Ответ: через три точки, лежащие на одной прямой, плоскость провести можно, и таких плоскостей бесконечно много.
