Страница 18 номер 2.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рисунке 2.10 буквами \(P\), \(E\) и \(Q\) обозначены точки пересечения прямых \(MK\) и \(BC\), \(MN\) и \(CA\), \(KN\) и \(AB\) соответственно. Верно ли, что плоскости \(ABC\) и \(MNK\) совпадают?
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MNK\), поэтому по аксиоме А4 ей принадлежит прямая \(MK\), а вместе с ней и точка \(P\). Так же по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\), а вместе с ней и точка \(P\). Значит, \(P\) — общая точка плоскостей \(ABC\) и \(MNK\).
Точка \(E\) лежит на прямой \(MN\) плоскости \(MNK\) и на прямой \(CA\) плоскости \(ABC\), а точка \(Q\) — на прямой \(KN\) плоскости \(MNK\) и на прямой \(AB\) плоскости \(ABC\), поэтому точки \(E\) и \(Q\) тоже общие для этих плоскостей.
Предположим, что плоскости \(ABC\) и \(MNK\) различны. По аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой, поэтому точки \(P\), \(E\) и \(Q\) лежали бы на одной прямой, а на рисунке они на одной прямой не лежат. Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: верно, плоскости \(ABC\) и \(MNK\) совпадают.
На рисунке 2.10 буквами \(P\), \(E\) и \(Q\) обозначены точки пересечения прямых \(MK\) и \(BC\), \(MN\) и \(CA\), \(KN\) и \(AB\) соответственно. Верно ли, что плоскости \(ABC\) и \(MNK\) совпадают?
Точки \(M\) и \(K\) принадлежат плоскости \(MNK\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(MK\) принадлежит плоскости \(MNK\); точка \(P\) лежит на этой прямой, значит, \(P \in MNK\). Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\); точка \(P\) лежит и на этой прямой, значит, \(P \in ABC\). Таким образом, точка \(P\) — общая точка плоскостей \(ABC\) и \(MNK\).
Точка \(E\) лежит на прямой \(MN\), принадлежащей плоскости \(MNK\), и на прямой \(CA\), принадлежащей плоскости \(ABC\), поэтому она тоже общая для этих плоскостей. Точка \(Q\) лежит на прямой \(KN\), принадлежащей плоскости \(MNK\), и на прямой \(AB\), принадлежащей плоскости \(ABC\), поэтому и она общая для этих плоскостей.
Предположим, что плоскости \(ABC\) и \(MNK\) различны. По аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Тогда точки \(P\), \(E\) и \(Q\) лежали бы на одной прямой, а на рисунке они на одной прямой не лежат. Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: верно, плоскости \(ABC\) и \(MNK\) совпадают.
