Страница 18 номер 2.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) непараллельны, \(X\) — произвольная точка, не принадлежащая плоскости четырёхугольника. Докажите, что при любом выборе точки \(X\) прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) проходит через некоторую фиксированную точку.
Все четыре вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\). Прямые \(AB\) и \(CD\) лежат в плоскости \(\beta\) и не параллельны, поэтому пересекаются; пусть \(P\) — точка их пересечения. Эта точка определена самим четырёхугольником и от выбора точки \(X\) не зависит.
По аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(XAB\), а прямая \(CD\) — плоскости \(XCD\), поэтому точка \(P\) принадлежит и той, и другой плоскости.
Плоскости \(XAB\) и \(XCD\) различны: если бы они совпадали, то одной плоскости принадлежали бы точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(X\), но через не лежащие на одной прямой точки \(A\), \(B\) и \(C\) по аксиоме А3 проходит только одна плоскость, поэтому она совпала бы с плоскостью \(\beta\) и точка \(X\) лежала бы в плоскости четырёхугольника, что противоречит условию.
Точки \(X\) и \(P\) — различные общие точки плоскостей \(XAB\) и \(XCD\), так как \(P \in \beta\), а \(X \notin \beta\). По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(XP\) принадлежит каждой из них. Значит, прямая их пересечения — прямая \(XP\), и при любом выборе точки \(X\) она проходит через одну и ту же точку \(P\).
Ответ: прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) при любом выборе точки \(X\) проходит через точку пересечения прямых \(AB\) и \(CD\).
В четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) непараллельны, \(X\) — произвольная точка, не принадлежащая плоскости четырёхугольника. Докажите, что при любом выборе точки \(X\) прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) проходит через некоторую фиксированную точку.
Все четыре вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\). Прямые \(AB\) и \(CD\) лежат в плоскости \(\beta\) и не параллельны, а две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются. Пусть \(P\) — точка пересечения прямых \(AB\) и \(CD\). Эта точка определена самим четырёхугольником и от выбора точки \(X\) не зависит.
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(XAB\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит этой плоскости, а вместе с ней и точка \(P\). Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости \(XCD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(CD\) принадлежит этой плоскости, а вместе с ней и точка \(P\).
Плоскости \(XAB\) и \(XCD\) различны. Действительно, если бы они совпадали, то одной плоскости принадлежали бы точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(X\). Точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, а через три такие точки по аксиоме А3 проходит только одна плоскость, поэтому эта плоскость совпала бы с плоскостью \(\beta\) и точка \(X\) принадлежала бы плоскости четырёхугольника, что противоречит условию.
Точки \(X\) и \(P\) — общие точки плоскостей \(XAB\) и \(XCD\), причём они различны, так как \(P \in \beta\), а \(X \notin \beta\). По аксиоме А5 плоскости \(XAB\) и \(XCD\) пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(XP\) принадлежит каждой из них. Значит, прямая их пересечения — прямая \(XP\), и при любом выборе точки \(X\) она проходит через одну и ту же точку \(P\).
Ответ: прямая пересечения плоскостей \(XAB\) и \(XCD\) при любом выборе точки \(X\) проходит через точку пересечения прямых \(AB\) и \(CD\).
