Страница 18 номер 2.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две из трёх прямых пересечения этих плоскостей пересекаются в точке \(A\). Докажите, что третья прямая проходит через точку \(A\).
Обозначим данные плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), а прямые их пересечения — так: \(\alpha \cap \beta = c\), \(\beta \cap \gamma = a\), \(\alpha \cap \gamma = b\).
Пусть в точке \(A\) пересекаются прямые \(c\) и \(a\). Прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а прямая \(a\) — плоскости \(\gamma\), поэтому \(A \in \alpha\) и \(A \in \gamma\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) имеют общую точку \(A\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки. Прямая пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\) — это прямая \(b\), поэтому \(A \in b\).
Ответ: третья прямая пересечения проходит через точку \(A\).
Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две из трёх прямых пересечения этих плоскостей пересекаются в точке \(A\). Докажите, что третья прямая проходит через точку \(A\).
Обозначим данные плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), а прямые их пересечения — так: \(\alpha \cap \beta = c\), \(\beta \cap \gamma = a\), \(\alpha \cap \gamma = b\).
Пусть в точке \(A\) пересекаются прямые \(c\) и \(a\). Точка \(A\) лежит на прямой \(c\), а прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, \(A \in \alpha\). Точка \(A\) лежит на прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\), значит, \(A \in \gamma\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) имеют общую точку \(A\). По аксиоме А5 плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Прямая пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\) — это прямая \(b\), поэтому \(A \in b\).
Ответ: третья прямая пересечения проходит через точку \(A\).
