Страницы 17-18 номер 2.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольники \(ABC\) и \(ABC_1\) лежат в разных плоскостях. На сторонах \(AC\), \(CB\), \(BC_1\) и \(C_1A\) отметили точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(K\) соответственно так, как показано на рисунке 2.9. Могут ли эти точки принадлежать одной плоскости?
Предположим, что точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(K\) принадлежат одной плоскости \(\gamma\).
Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах треугольника \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(MN\) лежит в плоскости \(ABC\); в этой же плоскости лежит и прямая \(AB\). Как видно на рисунке, прямые \(MN\) и \(AB\) пересекаются; пусть \(X\) — точка их пересечения. Так же прямые \(KP\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABC_1\) и пересекаются в точке \(Y\). Точка \(X\) лежит на прямой \(AB\) вне отрезка \(AB\) со стороны точки \(B\), а точка \(Y\) — со стороны точки \(A\), поэтому \(X \ne Y\).
По аксиоме А4 прямые \(MN\) и \(KP\) принадлежат плоскости \(\gamma\), а вместе с ними и точки \(X\) и \(Y\). Значит, две различные точки \(X\) и \(Y\) прямой \(AB\) принадлежат плоскости \(\gamma\), и по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Точка \(M\) не лежит на прямой \(AB\), а через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна; через прямую \(AB\) и точку \(M\) проходят и плоскость \(\gamma\), и плоскость \(ABC\), поэтому они совпадают. Так же плоскость \(\gamma\) совпадает с плоскостью \(ABC_1\), проходящей через прямую \(AB\) и не лежащую на ней точку \(K\). Тогда плоскости треугольников \(ABC\) и \(ABC_1\) совпали бы, что противоречит условию.
Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: нет, точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(K\) не могут принадлежать одной плоскости.
Треугольники \(ABC\) и \(ABC_1\) лежат в разных плоскостях. На сторонах \(AC\), \(CB\), \(BC_1\) и \(C_1A\) отметили точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(K\) соответственно так, как показано на рисунке 2.9. Могут ли эти точки принадлежать одной плоскости?
Предположим, что точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(K\) принадлежат одной плоскости \(\gamma\).
Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах треугольника \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(MN\) лежит в плоскости \(ABC\); в этой же плоскости лежит и прямая \(AB\). Как видно на рисунке, прямые \(MN\) и \(AB\) пересекаются; пусть \(X\) — точка их пересечения. Так же прямые \(KP\) и \(AB\) лежат в плоскости \(ABC_1\) и пересекаются; пусть \(Y\) — точка их пересечения. Точка \(X\) лежит на прямой \(AB\) вне отрезка \(AB\) со стороны точки \(B\), а точка \(Y\) — вне отрезка \(AB\) со стороны точки \(A\), поэтому \(X \ne Y\).
Точки \(M\) и \(N\) принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(MN\) принадлежит плоскости \(\gamma\), а вместе с ней и точка \(X\). Так же по аксиоме А4 прямая \(KP\) принадлежит плоскости \(\gamma\), а вместе с ней и точка \(Y\). Значит, две различные точки \(X\) и \(Y\) прямой \(AB\) принадлежат плоскости \(\gamma\), и по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Точка \(M\) не лежит на прямой \(AB\), а через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна. Плоскость \(\gamma\) проходит через прямую \(AB\) и точку \(M\), но через них проходит и плоскость \(ABC\), поэтому \(\gamma\) совпадает с плоскостью \(ABC\). Точно так же плоскость \(\gamma\) проходит через прямую \(AB\) и не лежащую на ней точку \(K\), поэтому \(\gamma\) совпадает с плоскостью \(ABC_1\). Тогда плоскости треугольников \(ABC\) и \(ABC_1\) совпали бы, что противоречит условию.
Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: нет, точки \(M\), \(N\), \(P\) и \(K\) не могут принадлежать одной плоскости.
