Страница 17 номер 2.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а точка \(F\) — плоскости \(\beta\) (рис. 2.8). Постройте прямую, по которой плоскость, проходящая через прямую \(a\) и точку \(F\), пересекает плоскость \(\beta\).
Обозначим прямую пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) через \(c\). Как видно на рисунке, точка \(F\) лежит в плоскости \(\beta\) и не лежит на прямой \(c\), поэтому \(F \notin \alpha\), а значит, \(F\) не принадлежит и прямой \(a\). Через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(F\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Продолжим прямую \(a\) до пересечения с прямой \(c\) в точке \(X\). Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\), поэтому \(X \in \gamma\); прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\beta\), поэтому \(X \in \beta\).
Плоскости \(\gamma\) и \(\beta\) различны: прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\), но не принадлежит плоскости \(\beta\), иначе она принадлежала бы и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), то есть совпадала бы с прямой \(c\), которую она пересекает. Точки \(X\) и \(F\) — различные общие точки этих плоскостей: точка \(X\) лежит на прямой \(c\), а точка \(F\) на ней не лежит. По аксиоме А4 прямая \(XF\) принадлежит каждой из плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Значит, прямая их пересечения — прямая \(XF\).
Ответ: искомая прямая — прямая \(XF\), где \(X\) — точка пересечения прямой \(a\) с прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).
Прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а точка \(F\) — плоскости \(\beta\) (рис. 2.8). Постройте прямую, по которой плоскость, проходящая через прямую \(a\) и точку \(F\), пересекает плоскость \(\beta\).
Обозначим прямую пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) через \(c\). Как видно на рисунке, точка \(F\) лежит в плоскости \(\beta\) и не лежит на прямой \(c\), поэтому \(F \notin \alpha\), а значит, \(F\) не принадлежит и прямой \(a\). Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна; обозначим через \(\gamma\) плоскость, проходящую через прямую \(a\) и точку \(F\).
Продолжим прямую \(a\) до пересечения с прямой \(c\) и обозначим точку их пересечения \(X\). Точка \(X\) лежит на прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\), поэтому \(X \in \gamma\). Точка \(X\) лежит на прямой \(c\), а прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\beta\), поэтому \(X \in \beta\).
Плоскости \(\gamma\) и \(\beta\) различны: прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\), но не принадлежит плоскости \(\beta\), иначе она принадлежала бы и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\), то есть совпадала бы с прямой \(c\), которую она пересекает. Точки \(X\) и \(F\) — общие точки плоскостей \(\gamma\) и \(\beta\), причём они различны: точка \(X\) лежит на прямой \(c\), а точка \(F\) на ней не лежит. По аксиоме А4 прямая \(XF\) принадлежит каждой из этих плоскостей. По аксиоме А5 плоскости \(\gamma\) и \(\beta\) пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой, а через две точки проходит только одна прямая. Значит, прямая их пересечения — прямая \(XF\).
Ответ: искомая прямая — прямая \(XF\), где \(X\) — точка пересечения прямой \(a\) с прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).
