Страница 15 номер 2.1, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и точку?
Пусть даны прямая \(a\) и точка \(A\). Возможны два случая.
Если точка \(A\) не принадлежит прямой \(a\), то через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна: через данные прямую и точку можно провести ровно одну плоскость.
Если точка \(A\) принадлежит прямой \(a\), то условие сводится к одной прямой \(a\). Какова бы ни была прямая, существуют точки, ей не принадлежащие, поэтому найдётся точка \(B\), не лежащая на прямой \(a\); через прямую \(a\) и точку \(B\) проходит плоскость \(\alpha\), и точка \(A\) ей принадлежит. По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(C\), ей не принадлежащая; через прямую \(a\) и точку \(C\) проходит плоскость \(\beta\), причём \(\beta \ne \alpha\), так как \(C \notin \alpha\). Такое построение можно продолжать неограниченно, поэтому плоскостей, проходящих через прямую \(a\) и точку \(A\), бесконечно много.
Ответ: одну плоскость, если точка не лежит на данной прямой; бесконечно много плоскостей, если точка лежит на данной прямой.
Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и точку?
Пусть даны прямая \(a\) и точка \(A\). Возможны два случая.
Если точка \(A\) не принадлежит прямой \(a\), то через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна. Значит, в этом случае через данные прямую и точку можно провести ровно одну плоскость.
Если точка \(A\) принадлежит прямой \(a\), то условие сводится к одной прямой \(a\). Какова бы ни была прямая, существуют точки, ей не принадлежащие, поэтому найдётся точка \(B\), не лежащая на прямой \(a\); через прямую \(a\) и точку \(B\) проходит плоскость \(\alpha\), и точка \(A\) ей принадлежит. По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(C\), ей не принадлежащая. Через прямую \(a\) и точку \(C\) проходит плоскость \(\beta\), причём \(\beta \ne \alpha\), так как \(C \notin \alpha\). Для плоскости \(\beta\) снова найдётся не принадлежащая ей точка, и через прямую \(a\) и эту точку пройдёт плоскость \(\gamma\), отличная от \(\beta\). Такое построение можно продолжать неограниченно, поэтому плоскостей, проходящих через прямую \(a\) и точку \(A\), бесконечно много.
Ответ: одну плоскость, если точка не лежит на данной прямой; бесконечно много плоскостей, если точка лежит на данной прямой.
