Страница 17 номер 2.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) попарно пересекаются, причём точки их пересечения не совпадают. Лежат ли прямые \(a\), \(b\) и \(c\) в одной плоскости?
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\), тогда \(a \subset \alpha\) и \(b \subset \alpha\).
Прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в точке \(P\), а прямую \(b\) — в точке \(Q\), причём по условию \(P \ne Q\).
Прямые \(a\) и \(b\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому \(P \in \alpha\) и \(Q \in \alpha\), то есть две различные точки прямой \(c\) лежат в плоскости \(\alpha\), и по аксиоме А4 прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
Следовательно, все три прямые лежат в плоскости \(\alpha\).
Ответ: да, прямые \(a\), \(b\) и \(c\) лежат в одной плоскости.
Прямые \(a\), \(b\) и \(c\) попарно пересекаются, причём точки их пересечения не совпадают. Лежат ли прямые \(a\), \(b\) и \(c\) в одной плоскости?
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются; пусть \(M\) — точка их пересечения. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Тогда \(a \subset \alpha\) и \(b \subset \alpha\).
Прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в некоторой точке \(P\), а прямую \(b\) — в некоторой точке \(Q\). По условию точки пересечения прямых не совпадают, поэтому \(P \ne Q\).
Точка \(P\) лежит на прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(P \in \alpha\). Так же \(Q \in \alpha\). Значит, две различные точки прямой \(c\) принадлежат плоскости \(\alpha\), и по аксиоме А4 прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
Следовательно, все три прямые лежат в плоскости \(\alpha\).
Ответ: да, прямые \(a\), \(b\) и \(c\) лежат в одной плоскости.
