Страница 17 номер 2.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если три прямые не принадлежат одной плоскости и каждые две из этих прямых пересекаются, то все данные прямые пересекаются в одной точке.
Обозначим данные прямые \(a\), \(b\) и \(c\).
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\), тогда \(a \subset \alpha\) и \(b \subset \alpha\).
Пусть \(P\) — точка пересечения прямых \(c\) и \(a\), а \(Q\) — прямых \(c\) и \(b\).
Предположим, что \(P \ne Q\). Прямые \(a\) и \(b\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому \(P \in \alpha\) и \(Q \in \alpha\), то есть две точки прямой \(c\) лежат в плоскости \(\alpha\), и по аксиоме А4 прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Тогда все три прямые лежат в одной плоскости, что противоречит условию. Значит, \(P = Q\).
Эта точка общая для прямых \(a\) и \(b\), а пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, поэтому она совпадает с точкой \(M\), и все три прямые проходят через точку \(M\).
Ответ: все три прямые проходят через одну точку — точку пересечения любых двух из них.
Докажите, что если три прямые не принадлежат одной плоскости и каждые две из этих прямых пересекаются, то все данные прямые пересекаются в одной точке.
Обозначим данные прямые \(a\), \(b\) и \(c\).
Прямые \(a\) и \(b\) пересекаются; пусть \(M\) — точка их пересечения. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Тогда \(a \subset \alpha\) и \(b \subset \alpha\).
Прямая \(c\) пересекает прямую \(a\); пусть \(P\) — точка их пересечения. Прямая \(c\) пересекает и прямую \(b\); пусть \(Q\) — точка их пересечения.
Предположим, что \(P \ne Q\). Точка \(P\) лежит на прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(P \in \alpha\); так же \(Q \in \alpha\). Значит, две точки прямой \(c\) принадлежат плоскости \(\alpha\), и по аксиоме А4 прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Тогда все три прямые лежат в одной плоскости, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и \(P = Q\).
Эта точка принадлежит и прямой \(a\), и прямой \(b\), то есть является их общей точкой. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, поэтому она совпадает с точкой \(M\). Значит, все три прямые проходят через точку \(M\).
Ответ: все три прямые проходят через одну точку — точку пересечения любых двух из них.
