Страницы 16-17 номер 2.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите ошибку на рисунке 2.6, если известно, что прямые \(BP\) и \(CK\) пересекаются в точке \(E\), прямая \(BP\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(B\), прямую \(FM\) — в точке \(P\), прямая \(CK\) пересекает прямую \(FM\) в точке \(K\), прямые \(AC\), \(FE\) и \(FM\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(D\) и \(M\) соответственно. Выполните правильный рисунок.
Прямые \(BP\) и \(CK\) пересекаются в точке \(E\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\beta\).
Точка \(B\) лежит на прямой \(BP\), а точка \(C\) — на прямой \(CK\), поэтому \(B \in \beta\) и \(C \in \beta\); обе эти точки лежат на прямой \(AC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точка \(A\).
Так же \(P \in \beta\) и \(K \in \beta\); обе эти точки лежат на прямой \(FM\), значит, по аксиоме А4 прямая \(FM\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точки \(F\) и \(M\).
Точки \(F\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(FE\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точка \(D\).
Значит, точки \(A\), \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(\beta\), а по условию — и плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: прямая \(AC\) пересекает плоскость \(\alpha\) только в точке \(A\), а точка \(B\) от неё отлична, поэтому \(B \notin \alpha\), хотя \(B \in \beta\). По аксиоме А5 плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки, поэтому точки \(A\), \(D\) и \(M\) лежат на одной прямой.
На рисунке точка \(D\) лежит вне прямой \(AM\) — в этом и состоит ошибка. Правильный рисунок:
Ответ: ошибка в том, что точки \(A\), \(D\) и \(M\) не лежат на одной прямой; каждая из них принадлежит и плоскости \(\alpha\), и плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые \(BP\) и \(CK\), поэтому все три обязаны лежать на прямой пересечения этих плоскостей.
Найдите ошибку на рисунке 2.6, если известно, что прямые \(BP\) и \(CK\) пересекаются в точке \(E\), прямая \(BP\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(B\), прямую \(FM\) — в точке \(P\), прямая \(CK\) пересекает прямую \(FM\) в точке \(K\), прямые \(AC\), \(FE\) и \(FM\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(D\) и \(M\) соответственно. Выполните правильный рисунок.
Прямые \(BP\) и \(CK\) пересекаются в точке \(E\), а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\beta\).
Точка \(B\) лежит на прямой \(BP\), а точка \(C\) — на прямой \(CK\), поэтому \(B \in \beta\) и \(C \in \beta\). Обе эти точки лежат на прямой \(AC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точка \(A\).
Точка \(P\) лежит на прямой \(BP\), а точка \(K\) — на прямой \(CK\), поэтому \(P \in \beta\) и \(K \in \beta\). Обе эти точки лежат на прямой \(FM\), значит, по аксиоме А4 прямая \(FM\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точки \(F\) и \(M\).
Точки \(F\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(FE\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точка \(D\).
Значит, все три точки \(A\), \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(\beta\); по условию они принадлежат и плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: прямая \(AC\) пересекает плоскость \(\alpha\) только в точке \(A\), а точка \(B\) от неё отлична, поэтому \(B \notin \alpha\), хотя \(B \in \beta\). По аксиоме А5 плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Значит, точки \(A\), \(D\) и \(M\) лежат на прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), то есть на одной прямой.
На рисунке точка \(D\) лежит вне прямой \(AM\) — в этом и состоит ошибка. На правильном рисунке точки \(A\), \(D\) и \(M\) лежат на одной прямой:
Ответ: ошибка в том, что точки \(A\), \(D\) и \(M\) не лежат на одной прямой; каждая из них принадлежит и плоскости \(\alpha\), и плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые \(BP\) и \(CK\), поэтому все три обязаны лежать на прямой пересечения этих плоскостей.
