Страница 16 номер 2.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина \(D\) четырёхугольника \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\), вершины \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат в этой плоскости, прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\), прямая \(BC\) — в точке \(F\). Выполните правильный рисунок.
Четырёхугольник \(ABCD\) — плоская фигура, поэтому все четыре его вершины лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\). Вершина \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\), а плоскости \(\beta\) принадлежит, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны.
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точка \(E\). Так же по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(\beta\), а вместе с ней и точка \(F\). Вершина \(D\) тоже принадлежит плоскости \(\beta\). По условию все три точки \(E\), \(D\) и \(F\) принадлежат и плоскости \(\alpha\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Значит, точки \(E\), \(D\) и \(F\) лежат на одной прямой.
На рисунке точка \(D\) лежит вне прямой \(EF\) — в этом и состоит ошибка. Правильный рисунок:
Ответ: ошибка в том, что точки \(E\), \(D\) и \(F\) не лежат на одной прямой; каждая из них принадлежит и плоскости четырёхугольника \(ABCD\), и плоскости \(\alpha\), поэтому все три обязаны лежать на прямой пересечения этих плоскостей.
Найдите ошибку на рисунке 2.5, если известно, что вершина \(D\) четырёхугольника \(ABCD\) лежит в плоскости \(\alpha\), вершины \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат в этой плоскости, прямая \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\), прямая \(BC\) — в точке \(F\). Выполните правильный рисунок.
Четырёхугольник \(ABCD\) — плоская фигура, поэтому все четыре его вершины лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\). Вершина \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\), а плоскости \(\beta\) принадлежит, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны.
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\beta\). Точка \(E\) лежит на прямой \(AB\), значит, \(E \in \beta\), и по условию \(E \in \alpha\). Точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(\beta\); точка \(F\) лежит на прямой \(BC\), значит, \(F \in \beta\), и по условию \(F \in \alpha\). Наконец, вершина \(D\) принадлежит и плоскости \(\beta\), и плоскости \(\alpha\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Значит, точки \(E\), \(D\) и \(F\) лежат на прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), то есть на одной прямой.
На рисунке точка \(D\) лежит вне прямой \(EF\) — в этом и состоит ошибка. На правильном рисунке точки \(E\), \(D\) и \(F\) лежат на одной прямой:
Ответ: ошибка в том, что точки \(E\), \(D\) и \(F\) не лежат на одной прямой; каждая из них принадлежит и плоскости четырёхугольника \(ABCD\), и плоскости \(\alpha\), поэтому все три обязаны лежать на прямой пересечения этих плоскостей.
