Страница 16 номер 2.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости?
Обозначим концы ножек стула точками \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), занумеровав их по кругу, так что \(A\) и \(C\) — концы противоположных ножек, и \(B\) и \(D\) — тоже. Столяр натягивает две нити «по диагоналям»: от конца \(A\) до конца \(C\) и от конца \(B\) до конца \(D\).
Если натянутые нити касаются, то отрезки \(AC\) и \(BD\) имеют общую точку, то есть прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Точки \(A\) и \(C\) лежат на прямой \(AC\), а точки \(B\) и \(D\) — на прямой \(BD\), поэтому все они принадлежат плоскости \(\alpha\): концы всех четырёх ножек лежат в одной плоскости.
Если же нити не касаются, то концы ножек в одной плоскости не лежат: если бы точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали в одной плоскости, то в ней они были бы вершинами выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) (ножки стоят по углам стула), а диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, то есть нити касались бы.
Например, концы \(A\), \(C\) и \(D\) могут лежать в плоскости \(\alpha\), а конец \(B\) — этой плоскости не принадлежать. Тогда по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а прямая \(BD\) ей не принадлежит, ведь \(B \notin \alpha\), и потому имеет с плоскостью \(\alpha\) единственную общую точку \(D\). Точка \(D\) на прямой \(AC\) не лежит, поэтому общей точки у нитей нет.
Ответ: нужно натянуть две нити по диагоналям — от конца каждой ножки к концу противоположной; концы четырёх ножек лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда натянутые нити касаются друг друга.
Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости?
Обозначим концы ножек стула точками \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), занумеровав их по кругу, так что \(A\) и \(C\) — концы противоположных ножек, и \(B\) и \(D\) — тоже. Столяр натягивает две нити «по диагоналям»: одну от конца \(A\) до конца \(C\), другую от конца \(B\) до конца \(D\).
Если натянутые нити касаются, то отрезки \(AC\) и \(BD\) имеют общую точку, то есть прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\alpha\). Точки \(A\) и \(C\) лежат на прямой \(AC\), а \(AC \subset \alpha\), поэтому \(A \in \alpha\) и \(C \in \alpha\); так же \(B \in \alpha\) и \(D \in \alpha\). Значит, концы всех четырёх ножек лежат в одной плоскости.
Если же нити не касаются, то концы ножек в одной плоскости не лежат. Действительно, если бы точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежали в одной плоскости, то в этой плоскости они были бы вершинами выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) (ножки стоят по углам стула), а диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, то есть нити касались бы.
Например, концы \(A\), \(C\) и \(D\) могут лежать в плоскости \(\alpha\), а конец \(B\) — этой плоскости не принадлежать. Тогда по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а прямая \(BD\) ей не принадлежит, ведь \(B \notin \alpha\), и потому имеет с плоскостью \(\alpha\) единственную общую точку \(D\). Точка \(D\) на прямой \(AC\) не лежит, поэтому общей точки у нитей нет.
Ответ: нужно натянуть две нити по диагоналям — от конца каждой ножки к концу противоположной; концы четырёх ножек лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда натянутые нити касаются друг друга.
