Страница 16 номер 2.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Три прямые пересекаются в одной точке. Через каждые две из этих прямых проведена плоскость. Сколько всего плоскостей проведено?
Пусть прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекаются в точке \(O\). Через каждые две из них проходит плоскость и притом только одна: через прямые \(a\) и \(b\) — плоскость \(\alpha\), через прямые \(b\) и \(c\) — плоскость \(\beta\), через прямые \(a\) и \(c\) — плоскость \(\gamma\). Возможны два случая.
Если все три прямые лежат в одной плоскости, то эта плоскость проходит через каждые две из них, поэтому каждая из плоскостей \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) с ней совпадает. Значит, проведена одна плоскость.
Если же три данные прямые не лежат в одной плоскости, то плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) попарно различны: если бы, например, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) совпали, то этой плоскости принадлежали бы все три прямые \(a\), \(b\) и \(c\), что противоречит рассматриваемому случаю. Значит, проведены три плоскости.
Ответ: одна плоскость, если все три прямые лежат в одной плоскости; три плоскости, если три данные прямые в одной плоскости не лежат.
Три прямые пересекаются в одной точке. Через каждые две из этих прямых проведена плоскость. Сколько всего плоскостей проведено?
Пусть прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекаются в точке \(O\). Каждые две из них пересекаются, поэтому через каждые две проходит плоскость и притом только одна: через прямые \(a\) и \(b\) — плоскость \(\alpha\), через прямые \(b\) и \(c\) — плоскость \(\beta\), через прямые \(a\) и \(c\) — плоскость \(\gamma\). Возможны два случая.
Если все три прямые лежат в одной плоскости, то эта плоскость проходит через каждые две из них. Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, единственна, поэтому каждая из плоскостей \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) совпадает с ней. Значит, проведена одна плоскость.
Если же три данные прямые не лежат в одной плоскости, то плоскости \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) попарно различны. Действительно, если бы, например, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) совпали, то этой плоскости принадлежали бы прямые \(a\), \(b\) и \(c\), то есть все три прямые лежали бы в одной плоскости, что противоречит рассматриваемому случаю. Значит, проведены три плоскости.
Ответ: одна плоскость, если все три прямые лежат в одной плоскости; три плоскости, если три данные прямые в одной плоскости не лежат.
