Страница 16 номер 2.11, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны пять точек, не лежащих в одной плоскости. Какое наибольшее количество из них может лежать на одной прямой?
Предположим, что четыре из пяти точек лежат на прямой \(a\). Пятая точка либо лежит на прямой \(a\), либо не лежит.
Если пятая точка лежит на прямой \(a\), то на прямой \(a\) лежат все пять точек. Возьмём точку \(D\), не лежащую на прямой \(a\), и проведём через прямую \(a\) и точку \(D\) плоскость. Прямая \(a\) принадлежит этой плоскости, поэтому все пять точек лежат в одной плоскости.
Если пятая точка \(M\) не лежит на прямой \(a\), то через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(M\) проходит плоскость. Этой плоскости принадлежит прямая \(a\), а значит, и четыре точки на ней, и точка \(M\); снова все пять точек лежат в одной плоскости.
И в том, и в другом случае получено противоречие с условием, поэтому четырёх точек на одной прямой быть не может, а тем более не может быть пяти.
Три точки на одной прямой возможны. Отметим на прямой \(a\) точки \(A\), \(B\) и \(C\), возьмём точку \(D\), не лежащую на прямой \(a\), и проведём через прямую \(a\) и точку \(D\) плоскость \(\beta\). По аксиоме А1 существует точка \(E\), не принадлежащая плоскости \(\beta\). Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) в одной плоскости не лежат: любая плоскость, содержащая \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), содержит по аксиоме А4 прямую \(a\) и точку \(D\), а такая плоскость единственна и совпадает с \(\beta\), точка же \(E\) плоскости \(\beta\) не принадлежит.
Ответ: 3 точки.
Даны пять точек, не лежащих в одной плоскости. Какое наибольшее количество из них может лежать на одной прямой?
Покажем, что четыре из данных точек на одной прямой лежать не могут.
Предположим, что четыре из пяти точек лежат на прямой \(a\). Пятая точка либо лежит на прямой \(a\), либо не лежит.
Если пятая точка лежит на прямой \(a\), то на прямой \(a\) лежат все пять точек. Какова бы ни была прямая, существуют точки, ей не принадлежащие; возьмём точку \(D\), не лежащую на прямой \(a\), и проведём через прямую \(a\) и точку \(D\) плоскость. Прямая \(a\) принадлежит этой плоскости, поэтому все пять точек лежат в одной плоскости.
Если пятая точка \(M\) не лежит на прямой \(a\), то через прямую \(a\) и не принадлежащую ей точку \(M\) проходит плоскость. Этой плоскости принадлежит прямая \(a\), а значит, и четыре точки на ней, и точка \(M\); снова все пять точек лежат в одной плоскости.
И в том, и в другом случае получено противоречие с условием. Следовательно, наше предположение неверно: четырёх точек на одной прямой быть не может, а тем более не может быть пяти.
Три точки на одной прямой возможны. Отметим на прямой \(a\) точки \(A\), \(B\) и \(C\), возьмём точку \(D\), не лежащую на прямой \(a\), и проведём через прямую \(a\) и точку \(D\) плоскость \(\beta\). По аксиоме А1 существует точка \(E\), не принадлежащая плоскости \(\beta\). Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) в одной плоскости не лежат: любая плоскость, содержащая \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), содержит по аксиоме А4 прямую \(a\) и точку \(D\), а такая плоскость единственна и совпадает с \(\beta\), точка же \(E\) плоскости \(\beta\) не принадлежит.
Ответ: 3 точки.
