Страница 11 номер 1.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DE = 2\) см
\(EF = 4\) см
\(DF = 6\) см

Найти: число плоскостей, которые можно провести через точки \(D\), \(E\) и \(F\).

Решение:

Сравним длины данных отрезков: \(DE + EF = 2 + 4 = 6\), то есть \(DE + EF = DF\). Значит, точка \(E\) лежит между точками \(D\) и \(F\), и три данные точки лежат на одной прямой — на прямой \(DF\).

Аксиома А3 к таким точкам неприменима: она говорит о трёх точках, не принадлежащих одной прямой. Поэтому выясним, сколько плоскостей проходит через прямую \(DF\).

Какова бы ни была прямая, существуют точки, ей не принадлежащие. Отметим точку \(M\), не принадлежащую прямой \(DF\). Точки \(D\), \(F\) и \(M\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\alpha\). Две точки \(D\) и \(F\) прямой \(DF\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 вся прямая \(DF\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а вместе с ней и точка \(E\).

По аксиоме А1 для плоскости \(\alpha\) существует точка \(N\), ей не принадлежащая. Точка \(N\) не принадлежит и прямой \(DF\), ведь эта прямая лежит в плоскости \(\alpha\). Значит, точки \(D\), \(F\) и \(N\) не лежат на одной прямой, по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\beta\), а по аксиоме А4 прямая \(DF\) принадлежит и плоскости \(\beta\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны, так как точка \(N\) принадлежит плоскости \(\beta\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\).

Это рассуждение можно повторять сколько угодно раз: для каждой уже построенной плоскости по аксиоме А1 найдётся не принадлежащая ей точка, и через эту точку и прямую \(DF\) пройдёт новая плоскость, отличная от прежней.

Каждая такая плоскость проходит через прямую \(DF\), а значит, и через все три точки \(D\), \(E\) и \(F\). Следовательно, таких плоскостей бесконечно много.

Ответ: через точки \(D\), \(E\) и \(F\) можно провести бесконечно много плоскостей.