Страница 13 номер 1.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Диагональ \(AC\) равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(AB = CD\)) делит угол \(BAD\) пополам (рис. 1.20). Точка \(E\) — середина отрезка \(AB\). Прямая, проходящая через точку \(E\) параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок \(AC\) в точке \(K\), а отрезок \(CD\) — в точке \(F\). Найдите периметр трапеции \(ABCD\), если \(EK = 3\) см, \(KF = 5\) см.
Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(BC \parallel AD\), \(AB = CD\)
\(AC\) — биссектриса угла \(BAD\)
\(E\) — середина \(AB\)
\(EF \parallel AD\), \(K \in AC\), \(F \in CD\)
\(EK = 3\) см
\(KF = 5\) см
Найти: периметр трапеции \(ABCD\).
Решение: Прямая \(EF\) параллельна основанию \(AD\), а \(BC \parallel AD\), поэтому \(EF \parallel BC\).
В треугольнике \(ABC\) точка \(E\) — середина стороны \(AB\), а прямая \(EK\) параллельна стороне \(BC\), поэтому \(EK\) — средняя линия треугольника и \(BC = 2 EK = 2 \cdot 3 = 6\) (см).
В трапеции точка \(E\) — середина боковой стороны \(AB\), а прямая \(EF\) параллельна основаниям, поэтому \(EF\) — средняя линия трапеции и \(EF = \frac{BC + AD}{2}\).
Так как \(EF = EK + KF = 3 + 5 = 8\) (см), получаем \(\frac{6 + AD}{2} = 8\), откуда \(AD = 10\) см.
Прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны, поэтому \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие углы при секущей \(AC\), а \(\angle BAC = \angle CAD\), так как \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\). Значит, \(\angle BAC = \angle BCA\), треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AB = BC = 6\) см; трапеция равнобокая, поэтому \(CD = AB = 6\) см.
Периметр трапеции \(P = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 10 = 28\) (см).
Ответ: 28 см.
Диагональ \(AC\) равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(AB = CD\)) делит угол \(BAD\) пополам (рис. 1.20). Точка \(E\) — середина отрезка \(AB\). Прямая, проходящая через точку \(E\) параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок \(AC\) в точке \(K\), а отрезок \(CD\) — в точке \(F\). Найдите периметр трапеции \(ABCD\), если \(EK = 3\) см, \(KF = 5\) см.
Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(BC \parallel AD\), \(AB = CD\)
\(AC\) — биссектриса угла \(BAD\)
\(E\) — середина \(AB\)
\(EF \parallel AD\), \(K \in AC\), \(F \in CD\)
\(EK = 3\) см
\(KF = 5\) см
Найти: периметр трапеции \(ABCD\).
Решение: Прямая \(EF\) параллельна основанию \(AD\), а \(BC \parallel AD\), поэтому \(EF \parallel BC\).
В треугольнике \(ABC\) точка \(E\) — середина стороны \(AB\), а прямая \(EK\) параллельна стороне \(BC\), поэтому она пересекает сторону \(AC\) в её середине. Значит, \(EK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), и \(BC = 2 EK = 2 \cdot 3 = 6\) (см).
В трапеции точка \(E\) — середина боковой стороны \(AB\), а прямая \(EF\) параллельна основаниям, поэтому точка \(F\) — середина боковой стороны \(CD\). Значит, \(EF\) — средняя линия трапеции, и \(EF = \frac{BC + AD}{2}\).
Так как \(EF = EK + KF = 3 + 5 = 8\) (см), получаем \(\frac{6 + AD}{2} = 8\), откуда \(AD = 10\) см.
Прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны, поэтому \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие углы при секущей \(AC\). Диагональ \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\), поэтому \(\angle BAC = \angle CAD\). Значит, \(\angle BAC = \angle BCA\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(AB = BC = 6\) см. Трапеция равнобокая, поэтому \(CD = AB = 6\) см.
Периметр трапеции \(P = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 10 = 28\) (см).
Ответ: 28 см.
