Страница 13 номер 1.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В треугольнике \(ABC\) сторона \(AC\) равна 30 см. Медианы \(AM\) и \(CN\) соответственно равны 39 см и 42 см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AC = 30\) см
\(AM\) и \(CN\) — медианы
\(AM = 39\) см
\(CN = 42\) см
Найти: площадь треугольника \(ABC\).
Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения медиан \(AM\) и \(CN\). Медианы делятся ею в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 39 = 26\) (см) и \(CO = \frac{2}{3} CN = \frac{2}{3} \cdot 42 = 28\) (см).
В треугольнике \(AOC\) стороны \(AO = 26\) см, \(CO = 28\) см, \(AC = 30\) см, полупериметр \(p = \frac{26 + 28 + 30}{2} = 42\) (см). По формуле Герона \[\begin{aligned} &S_{AOC} = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} = {} \\ &= \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12} = \sqrt{196 \cdot 64 \cdot 9} = 336. \end{aligned}\]
Треугольники \(AOC\) и \(AMC\) имеют общую вершину \(C\), а их основания \(AO\) и \(AM\) лежат на одной прямой, поэтому их площади относятся как \(AO : AM = 2 : 3\) и \(S_{AOC} = \frac{2}{3} S_{AMC}\). Отрезок \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), поэтому \(S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC}\). Значит, \(S_{AOC} = \frac{1}{3} S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC} = 3 \cdot 336 = 1008\) (см\(^2\)).
Ответ: \(1008\) см\(^2\).
В треугольнике \(ABC\) сторона \(AC\) равна 30 см. Медианы \(AM\) и \(CN\) соответственно равны 39 см и 42 см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AC = 30\) см
\(AM\) и \(CN\) — медианы
\(AM = 39\) см
\(CN = 42\) см
Найти: площадь треугольника \(ABC\).
Решение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении \(2 : 1\), считая от вершины. Пусть \(O\) — точка пересечения медиан \(AM\) и \(CN\). Тогда \(AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 39 = 26\) (см) и \(CO = \frac{2}{3} CN = \frac{2}{3} \cdot 42 = 28\) (см).
В треугольнике \(AOC\) известны все три стороны: \(AO = 26\) см, \(CO = 28\) см, \(AC = 30\) см. Его полупериметр \(p = \frac{26 + 28 + 30}{2} = 42\) (см). По формуле Герона \[\begin{aligned} &S_{AOC} = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} = {} \\ &= \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12} = \sqrt{196 \cdot 64 \cdot 9} = 336. \end{aligned}\]
Значит, \(S_{AOC} = 336\) см\(^2\).
Треугольники \(AOC\) и \(AMC\) имеют общую вершину \(C\), а их основания \(AO\) и \(AM\) лежат на одной прямой, поэтому площади этих треугольников относятся как \(AO : AM = 2 : 3\), то есть \(S_{AOC} = \frac{2}{3} S_{AMC}\).
Отрезок \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), поэтому \(S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC}\). Значит, \(S_{AOC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC} = 3 S_{AOC} = 3 \cdot 336 = 1008\) (см\(^2\)).
Ответ: \(1008\) см\(^2\).
