Страница 13 номер 1.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Имеется \(n\) (\(n \geqslant 2\)) плоскостей, каждые две из которых пересекаются. Какое наибольшее количество прямых, являющихся линиями пересечения данных плоскостей, может при этом образоваться?
Каждые две данные плоскости имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 пересекаются по прямой: каждой паре плоскостей отвечает ровно одна прямая, и прямых не больше, чем пар.
Каждая из \(n\) плоскостей образует пару с каждой из остальных \(n-1\), поэтому таких пар \(n(n-1)\), причём каждая учтена дважды. Значит, число пар равно \(\frac{n(n-1)}{2}\), и линий пересечения не больше, чем \(\frac{n(n-1)}{2}\).
Разным парам плоскостей может отвечать одна и та же прямая: когда три плоскости проходят через одну прямую, три пары дают одну прямую вместо трёх.
Покажем, что \(\frac{n(n-1)}{2}\) прямых получиться может. Возьмём плоскость \(\pi\) и проведём в ней \(n\) прямых \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\) так, чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не проходили через одну точку. По аксиоме А1 существует точка \(S\), не принадлежащая плоскости \(\pi\).
Через каждую прямую \(a_i\) и точку \(S\) проведём плоскость: отметим на прямой \(a_i\) две точки, вместе с точкой \(S\) они не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\gamma_i\), а по аксиоме А4 прямая \(a_i\) принадлежит этой плоскости. Плоскости \(\gamma_i\) и \(\pi\) различны, так как \(S \in \gamma_i\) и \(S \notin \pi\), и по аксиоме А5 пересекаются по прямой, проходящей через обе отмеченные точки, то есть по прямой \(a_i\). Значит, разным прямым \(a_i\) отвечают разные плоскости \(\gamma_i\), и плоскостей ровно \(n\).
Любые две плоскости \(\gamma_i\) и \(\gamma_j\) имеют общую точку \(S\). Прямые \(a_i\) и \(a_j\) не параллельны, поэтому пересекаются в некоторой точке \(A_{ij}\), которая принадлежит обеим этим плоскостям. Точки \(S\) и \(A_{ij}\) различны, значит, линия пересечения плоскостей \(\gamma_i\) и \(\gamma_j\) — прямая \(SA_{ij}\).
Разным парам плоскостей отвечают разные точки \(A_{ij}\): иначе через одну точку проходили бы три из прямых \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\). Разным точкам отвечают и разные прямые: прямая \(SA_{ij}\) имеет с плоскостью \(\pi\) только одну общую точку \(A_{ij}\), иначе по аксиоме А4 она принадлежала бы плоскости \(\pi\), которой точка \(S\) не принадлежит.
Значит, все \(\frac{n(n-1)}{2}\) прямых различны, и это количество достигается.
Ответ: \(\frac{n(n-1)}{2}\).
Имеется \(n\) (\(n \geqslant 2\)) плоскостей, каждые две из которых пересекаются. Какое наибольшее количество прямых, являющихся линиями пересечения данных плоскостей, может при этом образоваться?
Каждые две из данных плоскостей имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой. Значит, каждой паре плоскостей отвечает ровно одна прямая, и прямых не больше, чем пар.
Каждая из \(n\) плоскостей образует пару с каждой из остальных \(n-1\) плоскостей, поэтому таких пар \(n(n-1)\), причём каждая пара учтена дважды. Значит, число пар равно \(\frac{n(n-1)}{2}\), и линий пересечения не больше, чем \(\frac{n(n-1)}{2}\).
Разным парам плоскостей может отвечать одна и та же прямая. Так бывает, когда три плоскости проходят через одну прямую: три пары дают тогда одну прямую вместо трёх.
Покажем, что \(\frac{n(n-1)}{2}\) прямых получиться может. Возьмём плоскость \(\pi\) и проведём в ней \(n\) прямых \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\) так, чтобы никакие две из них не были параллельны и никакие три не проходили через одну точку. По аксиоме А1 существует точка \(S\), не принадлежащая плоскости \(\pi\).
Через каждую прямую \(a_i\) и точку \(S\) проведём плоскость: отметим на прямой \(a_i\) две точки, вместе с точкой \(S\) они не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\gamma_i\), а по аксиоме А4 прямая \(a_i\) принадлежит этой плоскости. Плоскости \(\gamma_i\) и \(\pi\) различны, так как \(S \in \gamma_i\) и \(S \notin \pi\); по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, которая проходит через обе отмеченные точки прямой \(a_i\), то есть по прямой \(a_i\). Значит, разным прямым \(a_i\) отвечают разные плоскости \(\gamma_i\), и плоскостей ровно \(n\).
Любые две плоскости \(\gamma_i\) и \(\gamma_j\) имеют общую точку \(S\). Прямые \(a_i\) и \(a_j\) не параллельны, поэтому пересекаются в некоторой точке \(A_{ij}\), которая принадлежит и плоскости \(\gamma_i\), и плоскости \(\gamma_j\). Точки \(S\) и \(A_{ij}\) различны, значит, линия пересечения плоскостей \(\gamma_i\) и \(\gamma_j\) — прямая \(SA_{ij}\).
Разным парам плоскостей отвечают разные точки \(A_{ij}\): если бы двум разным парам отвечала одна и та же точка, то через неё проходили бы три из прямых \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_n\). А разным точкам плоскости \(\pi\) отвечают и разные прямые: прямая \(SA_{ij}\) имеет с плоскостью \(\pi\) только одну общую точку \(A_{ij}\), ведь будь у неё две общие точки с плоскостью \(\pi\), она по аксиоме А4 принадлежала бы этой плоскости, а точка \(S\) ей не принадлежит.
Значит, все \(\frac{n(n-1)}{2}\) прямых различны, и это количество достигается.
Ответ: \(\frac{n(n-1)}{2}\).
