Страница 13 номер 1.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Пять точек, являющихся серединами звеньев замкнутой ломаной \(ABCDE\), принадлежат плоскости \(\alpha\). Докажите, что точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) принадлежат этой же плоскости.
Плоскость разбивает не лежащие на ней точки пространства на две части: отрезок с концами в одной части плоскость не пересекает, а отрезок с концами в разных частях пересекает её во внутренней точке.
Обозначим середины звеньев: \(K\) — середина \(AB\), \(L\) — \(BC\), \(M\) — \(CD\), \(N\) — \(DE\), \(P\) — \(EA\); по условию все эти точки принадлежат плоскости \(\alpha\).
Если хотя бы одна вершина ломаной принадлежит плоскости \(\alpha\), то ей принадлежат и все остальные. Пусть \(A \in \alpha\). Точки \(A\) и \(K\) различны, так как середина отрезка не совпадает с его концом, обе принадлежат плоскости \(\alpha\) и лежат на прямой \(AB\), поэтому по аксиоме А4 вся прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и \(B \in \alpha\). Точно так же из \(B \in \alpha\) и \(L \in \alpha\) получаем \(C \in \alpha\), затем \(D \in \alpha\) и \(E \in \alpha\).
Предположим теперь, что ни одна из вершин плоскости \(\alpha\) не принадлежит. Середина каждого звена лежит в плоскости \(\alpha\), то есть каждое звено пересекает эту плоскость во внутренней точке, поэтому концы каждого звена лежат по разные стороны от неё.
Точки \(D\) и \(E\) лежат по разные стороны, точки \(E\) и \(A\) — тоже по разные, поэтому точки \(A\) и \(D\) лежат по одну сторону. Точки \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны, точки \(C\) и \(D\) — тоже по разные, поэтому точки \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону. Значит, точки \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\). Но \(A\) и \(B\) — концы звена \(AB\), середина которого принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому они должны лежать по разные стороны. Получили противоречие.
Причина противоречия в том, что звеньев нечётное число: концы каждого звена лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому при обходе замкнутой ломаной \(A \to B \to C \to D \to E \to A\) сторона меняется пять раз, и нечётное число смен возвращает нас к вершине \(A\) по другую сторону плоскости, чем та, с которой обход начинался, — а этого быть не может.
Значит, предположение неверно: хотя бы одна вершина принадлежит плоскости \(\alpha\), а тогда ей принадлежат и все остальные.
Ответ: точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\alpha\).
Пять точек, являющихся серединами звеньев замкнутой ломаной \(ABCDE\), принадлежат плоскости \(\alpha\). Докажите, что точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) принадлежат этой же плоскости.
Плоскость разбивает не лежащие на ней точки пространства на две части: отрезок с концами в одной части плоскость не пересекает, а отрезок с концами в разных частях пересекает её во внутренней точке.
Обозначим середины звеньев: \(K\) — середина \(AB\), \(L\) — середина \(BC\), \(M\) — середина \(CD\), \(N\) — середина \(DE\), \(P\) — середина \(EA\). По условию все эти точки принадлежат плоскости \(\alpha\).
Покажем, что если хотя бы одна вершина ломаной принадлежит плоскости \(\alpha\), то ей принадлежат и все остальные. Пусть, например, \(A \in \alpha\). Точки \(A\) и \(K\) различны, так как середина отрезка не совпадает с его концом, и обе принадлежат плоскости \(\alpha\). Обе они лежат на прямой \(AB\), поэтому по аксиоме А4 вся прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а значит, \(B \in \alpha\). Точно так же из \(B \in \alpha\) и \(L \in \alpha\) получаем \(C \in \alpha\), затем \(D \in \alpha\) и \(E \in \alpha\).
Предположим теперь, что ни одна из вершин \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит. Середина каждого звена лежит в плоскости \(\alpha\), то есть каждое звено пересекает эту плоскость во внутренней точке, поэтому концы каждого звена лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\).
Точки \(D\) и \(E\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), точки \(E\) и \(A\) — тоже по разные стороны, поэтому точки \(A\) и \(D\) лежат по одну сторону от неё. Точки \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны, точки \(C\) и \(D\) — тоже по разные, поэтому точки \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону. Значит, точки \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\). Но \(A\) и \(B\) — концы звена \(AB\), середина которого принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому они должны лежать по разные стороны. Получили противоречие.
Причина противоречия в том, что звеньев нечётное число: концы каждого звена лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому при обходе замкнутой ломаной \(A \to B \to C \to D \to E \to A\) сторона меняется пять раз. Нечётное число смен возвращает нас к вершине \(A\) по другую сторону плоскости, чем та, с которой обход начинался, — а этого быть не может.
Значит, предположение неверно, и хотя бы одна вершина ломаной принадлежит плоскости \(\alpha\). Но тогда ей принадлежат и все остальные вершины.
Ответ: точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) принадлежат плоскости \(\alpha\).
