Страница 13 номер 1.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\), принадлежащие соответственно звеньям \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) замкнутой ломаной \(ABCD\), лежат в плоскости \(\alpha\). Верно ли, что точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) также принадлежат плоскости \(\alpha\)?
Замкнутая ломаная \(ABCD\) не обязана быть плоской, и её вершины могут не лежать в одной плоскости. Приведём пример, в котором условие выполнено, а вершины плоскости \(\alpha\) не принадлежат.
Плоскость разбивает не лежащие на ней точки пространства на две части, и отрезок с концами в разных частях пересекает её во внутренней точке.
Возьмём плоскость \(\alpha\) и четыре точки, не лежащие в одной плоскости, так, чтобы точки \(A\) и \(C\) лежали по одну сторону от плоскости \(\alpha\), а точки \(B\) и \(D\) — по другую. Концы каждого из звеньев \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) лежат тогда по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому каждое звено пересекает эту плоскость во внутренней точке. Обозначим эти точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) соответственно.
Все условия задачи выполнены, но ни одна из вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит.
Ответ: неверно: вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) замкнутой ломаной могут не принадлежать плоскости \(\alpha\).
Точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\), принадлежащие соответственно звеньям \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) замкнутой ломаной \(ABCD\), лежат в плоскости \(\alpha\). Верно ли, что точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) также принадлежат плоскости \(\alpha\)?
Замкнутая ломаная \(ABCD\) не обязана быть плоской: её вершины могут не лежать в одной плоскости. Приведём пример, в котором условие выполнено, а вершины плоскости \(\alpha\) не принадлежат.
Плоскость разбивает не лежащие на ней точки пространства на две части: отрезок с концами в одной части плоскость не пересекает, а отрезок с концами в разных частях пересекает её во внутренней точке.
Возьмём плоскость \(\alpha\) и четыре точки, не лежащие в одной плоскости, так, чтобы точки \(A\) и \(C\) лежали по одну сторону от плоскости \(\alpha\), а точки \(B\) и \(D\) — по другую. Концы каждого из звеньев \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) лежат тогда по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому каждое звено пересекает эту плоскость во внутренней точке. Обозначим эти точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) соответственно.
Точки \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) принадлежат соответственно звеньям \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) и лежат в плоскости \(\alpha\), то есть все условия задачи выполнены. Но ни одна из вершин \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) плоскости \(\alpha\) не принадлежит.
Ответ: неверно: вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) замкнутой ломаной могут не принадлежать плоскости \(\alpha\).
