Страница 13 номер 1.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны \(n\) точек, \(n > 4\), каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.
Возможны два случая.
Пусть все данные точки лежат на одной прямой \(a\). Какие-нибудь четыре из них по условию лежат в одной плоскости \(\gamma\), и среди этих четырёх есть две различные точки прямой \(a\), поэтому по аксиоме А4 вся прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\), а вместе с ней и все данные точки.
Пусть теперь какие-то три данные точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой. По аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\gamma\) и притом только одна. Любая другая данная точка \(X\) по условию лежит в одной плоскости с точками \(A\), \(B\) и \(C\), а такая плоскость единственна и потому совпадает с плоскостью \(\gamma\). Значит, \(X \in \gamma\).
Точка \(X\) была выбрана произвольно, поэтому все данные точки принадлежат плоскости \(\gamma\).
Ответ: все \(n\) данных точек лежат в одной плоскости.
Даны \(n\) точек, \(n > 4\), каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.
Возможны два случая.
Пусть все данные точки лежат на одной прямой \(a\). Возьмём какие-нибудь четыре из них; по условию они лежат в одной плоскости \(\gamma\). Среди этих четырёх точек есть две различные точки прямой \(a\), поэтому по аксиоме А4 вся прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Все данные точки лежат на прямой \(a\), значит, все они принадлежат плоскости \(\gamma\).
Пусть теперь какие-то три данные точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой. По аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\gamma\) и притом только одна. Возьмём любую другую данную точку \(X\). По условию точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(X\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость проходит через три точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, а такая плоскость единственна, поэтому она совпадает с плоскостью \(\gamma\). Значит, \(X \in \gamma\).
Точка \(X\) была выбрана произвольно, поэтому все данные точки принадлежат плоскости \(\gamma\).
Ответ: все \(n\) данных точек лежат в одной плоскости.
