Страница 13 номер 1.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
О плоскостях \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) известно, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(\beta \cap \gamma = a\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(a \cap c = M\). Докажите, что \(M \in b\).
Прямая \(c\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому \(c \subset \alpha\) и \(M \in \alpha\). Прямая \(a\) — линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\), поэтому \(a \subset \gamma\) и \(M \in \gamma\).
Таким образом, точка \(M\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\), а по аксиоме А5 все общие точки двух плоскостей лежат на их линии пересечения — здесь на прямой \(b\).
Следовательно, \(M \in b\).
Ответ: точка \(M\) принадлежит прямой \(b\): точка пересечения двух линий пересечения трёх плоскостей лежит и на третьей линии пересечения.
О плоскостях \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) известно, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(\beta \cap \gamma = a\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(a \cap c = M\). Докажите, что \(M \in b\).
Прямая \(c\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому \(c \subset \alpha\). Точка \(M\) принадлежит прямой \(c\), значит, \(M \in \alpha\).
Прямая \(a\) — линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\), поэтому \(a \subset \gamma\). Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), значит, \(M \in \gamma\).
Таким образом, точка \(M\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\). Их линия пересечения — прямая \(b\). По аксиоме А5 две плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой.
Следовательно, \(M \in b\).
Ответ: точка \(M\) принадлежит прямой \(b\): точка пересечения двух линий пересечения трёх плоскостей лежит и на третьей линии пересечения.
