Страница 13 номер 1.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вершина \(A\) треугольника \(ABC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а вершины \(B\) и \(C\) лежат вне этой плоскости. Продолжения медиан \(BM\) и \(CN\) треугольника \(ABC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(K\) и \(E\) соответственно. Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой.
Точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(ABC\).
Точка \(M\) — середина стороны \(AC\), а прямая \(AC\) по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому \(M \in ABC\). Точки \(B\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ABC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(BM\), а с ней и лежащая на ней точка \(K\), принадлежит этой плоскости; кроме того, \(K \in \alpha\). Точно так же \(E \in ABC\) и \(E \in \alpha\), а \(A \in ABC\) и \(A \in \alpha\) по условию.
Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) различны: точка \(B\) принадлежит плоскости \(ABC\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\). Значит, точки \(A\), \(K\) и \(E\) — общие точки этих плоскостей, а по аксиоме А5 все общие точки двух плоскостей лежат на их линии пересечения.
Следовательно, точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой.
Ответ: точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой — на прямой пересечения плоскости \(ABC\) и плоскости \(\alpha\).
Вершина \(A\) треугольника \(ABC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а вершины \(B\) и \(C\) лежат вне этой плоскости. Продолжения медиан \(BM\) и \(CN\) треугольника \(ABC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(K\) и \(E\) соответственно. Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой.
Точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(ABC\) и притом только одна.
Точка \(M\) — середина стороны \(AC\), значит, \(M\) лежит на прямой \(AC\), а прямая \(AC\) по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(ABC\); поэтому \(M \in ABC\). Две точки \(B\) и \(M\) принадлежат плоскости \(ABC\), значит, по аксиоме А4 прямая \(BM\) принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(K\) лежит на этой прямой, поэтому \(K \in ABC\); кроме того, \(K \in \alpha\). Точно так же прямая \(CN\) принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому \(E \in ABC\) и \(E \in \alpha\). Наконец, \(A \in ABC\) и \(A \in \alpha\) по условию.
Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) различны: точка \(B\) принадлежит плоскости \(ABC\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\). Значит, точки \(A\), \(K\) и \(E\) — общие точки плоскостей \(ABC\) и \(\alpha\). По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой.
Следовательно, точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой.
Ответ: точки \(A\), \(K\) и \(E\) лежат на одной прямой — на прямой пересечения плоскости \(ABC\) и плоскости \(\alpha\).
