Страница 13 номер 1.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вершина \(D\) четырёхугольника \(ABCD\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения сторон \(BA\) и \(BC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Докажите, что точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой.
Все вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат в одной плоскости; точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, поэтому эта плоскость — плоскость \(ABC\). Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) различны: точка \(B\) принадлежит плоскости \(ABC\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\).
По аксиоме А4 прямые \(BA\) и \(BC\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому лежащие на них точки \(M\) и \(K\) тоже принадлежат плоскости \(ABC\); кроме того, \(M \in \alpha\) и \(K \in \alpha\). Наконец, \(D \in ABC\) и \(D \in \alpha\) по условию.
Значит, точки \(M\), \(D\) и \(K\) — общие точки плоскостей \(ABC\) и \(\alpha\), а по аксиоме А5 все общие точки двух плоскостей лежат на их линии пересечения.
Следовательно, точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой.
Ответ: точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой — на прямой пересечения плоскости четырёхугольника \(ABCD\) и плоскости \(\alpha\).
Вершина \(D\) четырёхугольника \(ABCD\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения сторон \(BA\) и \(BC\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Докажите, что точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой.
Все вершины четырёхугольника \(ABCD\) лежат в одной плоскости; точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой, поэтому эта плоскость — плоскость \(ABC\).
Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) различны: точка \(B\) принадлежит плоскости \(ABC\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\).
Точки \(B\) и \(A\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(BA\) принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(M\) лежит на этой прямой, значит, \(M \in ABC\); кроме того, \(M \in \alpha\). Аналогично прямая \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому \(K \in ABC\) и \(K \in \alpha\). Наконец, \(D \in ABC\) и \(D \in \alpha\) по условию.
Значит, точки \(M\), \(D\) и \(K\) — общие точки плоскостей \(ABC\) и \(\alpha\). По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой.
Следовательно, точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой.
Ответ: точки \(M\), \(D\) и \(K\) лежат на одной прямой — на прямой пересечения плоскости четырёхугольника \(ABCD\) и плоскости \(\alpha\).
