Страница 13 номер 1.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если две соседние вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат одной плоскости, то и две другие вершины принадлежат этой плоскости.
Пусть \(ABCD\) — данный четырёхугольник, \(O\) — точка пересечения его диагоналей \(AC\) и \(BD\), а \(\alpha\) — плоскость, которой принадлежат соседние вершины \(A\) и \(B\) и точка \(O\).
Точка \(O\) лежит на диагонали \(AC\) между её концами, поэтому точки \(A\) и \(O\) различны и прямая \(AO\) — это прямая \(AC\). Обе эти точки принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и \(C \in \alpha\).
Аналогично прямая \(BO\) — это прямая \(BD\), и по аксиоме А4 она принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(D \in \alpha\).
Для двух противоположных вершин такое утверждение неверно: точки \(A\), \(C\) и \(O\) лежат на одной прямой, и через них проходит бесконечно много плоскостей.
Ответ: две другие вершины четырёхугольника принадлежат той же плоскости.
Докажите, что если две соседние вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат одной плоскости, то и две другие вершины принадлежат этой плоскости.
Пусть \(ABCD\) — данный четырёхугольник, \(O\) — точка пересечения его диагоналей \(AC\) и \(BD\), а \(\alpha\) — плоскость, которой принадлежат соседние вершины \(A\) и \(B\) и точка \(O\).
Точка \(O\) лежит на диагонали \(AC\) между её концами, поэтому точки \(A\) и \(O\) различны и прямая \(AO\) — это прямая \(AC\). Две точки \(A\) и \(O\) этой прямой принадлежат плоскости \(\alpha\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Следовательно, \(C \in \alpha\).
Аналогично точки \(B\) и \(O\) различны и принадлежат плоскости \(\alpha\), а прямая \(BO\) — это прямая \(BD\). По аксиоме А4 прямая \(BD\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(D \in \alpha\).
Для двух противоположных вершин такое утверждение неверно: точки \(A\), \(C\) и \(O\) лежат на одной прямой, и через них проходит бесконечно много плоскостей.
Ответ: две другие вершины четырёхугольника принадлежат той же плоскости.
