Страница 12 номер 1.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Предположим, что какие-то три из данных точек лежат на одной прямой. Пусть это точки \(A\), \(B\) и \(C\), а \(a\) — прямая, которой они принадлежат.
Если точка \(D\) принадлежит прямой \(a\), отметим точку \(E\), не принадлежащую этой прямой. По аксиоме А3 через точки \(A\), \(B\) и \(E\), не лежащие на одной прямой, проходит плоскость \(\gamma\); две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\) принадлежат этой плоскости, значит, по аксиоме А4 вся прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Тогда все четыре точки лежат в плоскости \(\gamma\), что противоречит условию.
Если же точка \(D\) прямой \(a\) не принадлежит, то по аксиоме А3 через точки \(A\), \(B\) и \(D\) проходит плоскость \(\gamma\), и, как и выше, по аксиоме А4 \(a \subset \gamma\), а значит, и \(C \in \gamma\). Снова все четыре точки лежат в одной плоскости, что противоречит условию.
В обоих случаях получено противоречие, значит, предположение неверно.
Ответ: никакие три из точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат на одной прямой.
Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Предположим, что какие-то три из данных точек лежат на одной прямой. Пусть это точки \(A\), \(B\) и \(C\), а \(a\) — прямая, которой они принадлежат.
Если точка \(D\) принадлежит прямой \(a\), то все четыре данные точки лежат на прямой \(a\). Отметим точку \(E\), не принадлежащую прямой \(a\) (какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей). Точки \(A\), \(B\) и \(E\) не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\gamma\). Две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\) принадлежат плоскости \(\gamma\), значит, по аксиоме А4 вся прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Тогда все четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат в плоскости \(\gamma\), что противоречит условию.
Если же точка \(D\) прямой \(a\) не принадлежит, то точки \(A\), \(B\) и \(D\) не лежат на одной прямой, и по аксиоме А3 через них проходит плоскость \(\gamma\). Две точки \(A\) и \(B\) прямой \(a\) принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 \(a \subset \gamma\), а значит, и \(C \in \gamma\). Снова все четыре точки лежат в одной плоскости, что противоречит условию.
В обоих случаях получено противоречие. Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: никакие три из точек \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) не лежат на одной прямой.
