Страница 12 номер 1.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
О плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) и прямой \(a\) известно, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(a \subset \alpha\), \(a \cap \beta = M\). Докажите, что \(a \cap c = M\).
Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а прямая \(a\) — плоскости \(\alpha\), поэтому \(M \in \alpha\); кроме того, \(M \in \beta\). Значит, точка \(M\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).
По аксиоме А5 все общие точки этих плоскостей лежат на их линии пересечения — прямой \(c\), поэтому \(M \in c\), то есть \(M\) — общая точка прямых \(a\) и \(c\).
Прямые \(a\) и \(c\) различны: прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\beta\), а прямая \(a\) этой плоскости не принадлежит, так как имеет с ней только одну общую точку \(M\). Обе прямые лежат в плоскости \(\alpha\), где по аксиоме А2 выполняются все аксиомы планиметрии, поэтому две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Следовательно, \(a \cap c = M\).
Ответ: прямые \(a\) и \(c\) пересекаются в точке \(M\), то есть \(a \cap c = M\).
О плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) и прямой \(a\) известно, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(a \subset \alpha\), \(a \cap \beta = M\). Докажите, что \(a \cap c = M\).
Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому \(M \in \alpha\). Кроме того, \(M \in \beta\), так как \(a \cap \beta = M\). Значит, точка \(M\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).
По аксиоме А5 плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Их линия пересечения — прямая \(c\), поэтому \(M \in c\). Значит, точка \(M\) — общая точка прямых \(a\) и \(c\).
Прямые \(a\) и \(c\) различны: прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\beta\), а прямая \(a\) этой плоскости не принадлежит, так как имеет с ней только одну общую точку \(M\). Обе прямые лежат в плоскости \(\alpha\), а в любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии (аксиома А2), поэтому две различные прямые имеют не более одной общей точки.
Следовательно, \(a \cap c = M\).
Ответ: прямые \(a\) и \(c\) пересекаются в точке \(M\), то есть \(a \cap c = M\).
