Страница 12 номер 1.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?
Обозначим плоскость треугольника \(\gamma\), центр вписанной окружности — \(O_1\), центр описанной — \(O_2\); обе эти точки принадлежат плоскости \(\gamma\).
Если точки \(O_1\) и \(O_2\) различны, то прямая, проходящая через центры, только одна — это прямая \(O_1O_2\), и по аксиоме А4 она принадлежит плоскости \(\gamma\). Для такого треугольника утверждение верно.
Но у равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Пусть \(O\) — эта общая точка. Тогда условие означает лишь, что прямая проходит через точку \(O\), а через одну точку проходит бесконечно много прямых.
По аксиоме А1 существует точка \(S\), не принадлежащая плоскости \(\gamma\). Прямая \(OS\) проходит через оба центра, но плоскости \(\gamma\) не принадлежит: иначе точка \(S\) принадлежала бы этой плоскости.
Значит, для равностороннего треугольника утверждение неверно.
Ответ: неверно; утверждение справедливо только для треугольника, у которого центры вписанной и описанной окружностей различны, то есть для любого, кроме равностороннего.
Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?
Центр вписанной окружности треугольника и центр описанной около него окружности принадлежат плоскости этого треугольника. Обозначим плоскость треугольника \(\gamma\), центр вписанной окружности — \(O_1\), центр описанной — \(O_2\).
Если точки \(O_1\) и \(O_2\) различны, то прямая, проходящая через центры, только одна — это прямая \(O_1O_2\). Две её точки \(O_1\) и \(O_2\) принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 вся прямая \(O_1O_2\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Для такого треугольника утверждение верно.
Но у равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Пусть \(O\) — эта общая точка. Тогда условие «прямая проходит через центры вписанной и описанной окружностей» означает лишь, что прямая проходит через точку \(O\), а через одну точку проходит бесконечно много прямых.
По аксиоме А1 существует точка \(S\), не принадлежащая плоскости \(\gamma\). Прямая \(OS\) проходит через точку \(O\), то есть через оба центра, но плоскости \(\gamma\) она не принадлежит: иначе точка \(S\) принадлежала бы этой плоскости.
Значит, для равностороннего треугольника утверждение неверно: через его центры проходит бесконечно много прямых, и почти все они плоскости треугольника не принадлежат.
Ответ: неверно; утверждение справедливо только для треугольника, у которого центры вписанной и описанной окружностей различны, то есть для любого, кроме равностороннего.
