Страница 12 номер 1.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Квадраты \(ABCD\) и \(ABC_1D_1\) не лежат в одной плоскости (рис. 1.19). На отрезке \(AD\) отметили точку \(E\), а на отрезке \(BC_1\) — точку \(F\). Постройте точку пересечения: 1) прямой \(CE\) с плоскостью \(ABC_1\); 2) прямой \(FD_1\) с плоскостью \(ABC\).
Квадраты не лежат в одной плоскости, поэтому плоскости \(ABC\) и \(ABC_1\) различны. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат обеим, значит, по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит каждой из них. По аксиоме А5 все общие точки этих плоскостей лежат на линии пересечения, а через точки \(A\) и \(B\) проходит только одна прямая, поэтому \(ABC \cap ABC_1 = AB\).
1) Точки \(C\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(CE\) лежит в плоскости \(ABC\). Каждая общая точка прямой \(CE\) и плоскости \(ABC_1\) является тогда общей точкой плоскостей \(ABC\) и \(ABC_1\), то есть лежит на прямой \(AB\).
Прямые \(CE\) и \(AB\) лежат в плоскости квадрата \(ABCD\) и не параллельны, поэтому пересекаются в некоторой точке \(X\). Прямая \(CE\) плоскости \(ABC_1\) не принадлежит, поэтому больше одной общей точки у них быть не может, и \(X\) — искомая точка.
Прямая \(CE\) пересекает границу квадрата \(ABCD\) только в точках \(C\) и \(E\), поэтому точка \(X\) лежит на продолжении стороны \(AB\). Так как \(AE \parallel BC\), треугольники \(XAE\) и \(XBC\) подобны и \(XA : XB = AE : BC\). Отрезок \(AE\) — часть стороны \(AD\), поэтому \(AE < BC\) и \(XA < XB\). Следовательно, точка \(X\) лежит на продолжении стороны \(AB\) за точку \(A\).
2) Точно так же точки \(F\) и \(D_1\) принадлежат плоскости \(ABC_1\), по аксиоме А4 прямая \(FD_1\) лежит в этой плоскости, и каждая общая точка прямой \(FD_1\) с плоскостью \(ABC\) лежит на прямой \(AB\). Прямые \(FD_1\) и \(AB\) лежат в плоскости квадрата \(ABC_1D_1\) и не параллельны, поэтому пересекаются; точка их пересечения \(Y\) и есть искомая.
Прямая \(FD_1\) пересекает границу квадрата \(ABC_1D_1\) только в точках \(F\) и \(D_1\), поэтому точка \(Y\) лежит на продолжении стороны \(AB\). Так как \(BF \parallel AD_1\), треугольники \(YBF\) и \(YAD_1\) подобны и \(YB : YA = BF : AD_1\). Отрезок \(BF\) — часть стороны \(BC_1\), поэтому \(BF < AD_1\) и \(YB < YA\). Следовательно, точка \(Y\) лежит на продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\).
Ответ: 1) прямая \(CE\) пересекает плоскость \(ABC_1\) в точке \(X\) — точке пересечения прямой \(CE\) с продолжением стороны \(AB\) за точку \(A\); 2) прямая \(FD_1\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(Y\) — точке пересечения прямой \(FD_1\) с продолжением стороны \(AB\) за точку \(B\).
Квадраты \(ABCD\) и \(ABC_1D_1\) не лежат в одной плоскости (рис. 1.19). На отрезке \(AD\) отметили точку \(E\), а на отрезке \(BC_1\) — точку \(F\). Постройте точку пересечения: 1) прямой \(CE\) с плоскостью \(ABC_1\); 2) прямой \(FD_1\) с плоскостью \(ABC\).
Квадраты \(ABCD\) и \(ABC_1D_1\) не лежат в одной плоскости, поэтому плоскости \(ABC\) и \(ABC_1\) различны. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат обеим этим плоскостям, значит, по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит каждой из них. По аксиоме А5 плоскости \(ABC\) и \(ABC_1\) пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой; точки \(A\) и \(B\) — общие, а через две точки проходит только одна прямая. Значит, \(ABC \cap ABC_1 = AB\).
1) Точка \(E\) лежит на стороне \(AD\) квадрата \(ABCD\), поэтому точки \(C\) и \(E\) принадлежат плоскости \(ABC\), и по аксиоме А4 прямая \(CE\) лежит в плоскости \(ABC\). Каждая общая точка прямой \(CE\) и плоскости \(ABC_1\) является тогда общей точкой плоскостей \(ABC\) и \(ABC_1\), то есть лежит на прямой \(AB\).
Прямые \(CE\) и \(AB\) лежат в плоскости квадрата \(ABCD\) и не параллельны, поэтому пересекаются; пусть \(X\) — точка их пересечения. Она принадлежит и прямой \(CE\), и плоскости \(ABC_1\), а больше одной общей точки у прямой \(CE\) и плоскости \(ABC_1\) быть не может: прямая \(CE\) этой плоскости не принадлежит. Значит, \(X\) — искомая точка.
Прямая \(CE\) пересекает границу квадрата \(ABCD\) только в точках \(C\) и \(E\), поэтому точка \(X\) стороне \(AB\) не принадлежит, то есть лежит на продолжении этой стороны. Так как \(AE \parallel BC\), треугольники \(XAE\) и \(XBC\) подобны и \(XA : XB = AE : BC\). Отрезок \(AE\) — часть стороны \(AD\), поэтому \(AE < BC\) и \(XA < XB\). Следовательно, точка \(X\) лежит на продолжении стороны \(AB\) за точку \(A\).
2) Точка \(F\) лежит на стороне \(BC_1\) квадрата \(ABC_1D_1\), поэтому точки \(F\) и \(D_1\) принадлежат плоскости \(ABC_1\), и по аксиоме А4 прямая \(FD_1\) лежит в плоскости \(ABC_1\). Каждая общая точка прямой \(FD_1\) и плоскости \(ABC\) лежит тогда на прямой \(AB\).
Прямые \(FD_1\) и \(AB\) лежат в плоскости квадрата \(ABC_1D_1\) и не параллельны, поэтому пересекаются; пусть \(Y\) — точка их пересечения. Она и есть искомая точка.
Прямая \(FD_1\) пересекает границу квадрата \(ABC_1D_1\) только в точках \(F\) и \(D_1\), поэтому точка \(Y\) лежит на продолжении стороны \(AB\). Так как \(BF \parallel AD_1\), треугольники \(YBF\) и \(YAD_1\) подобны и \(YB : YA = BF : AD_1\). Отрезок \(BF\) — часть стороны \(BC_1\), поэтому \(BF < AD_1\) и \(YB < YA\). Следовательно, точка \(Y\) лежит на продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\).
Ответ: 1) прямая \(CE\) пересекает плоскость \(ABC_1\) в точке \(X\) — точке пересечения прямой \(CE\) с продолжением стороны \(AB\) за точку \(A\); 2) прямая \(FD_1\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(Y\) — точке пересечения прямой \(FD_1\) с продолжением стороны \(AB\) за точку \(B\).
